Криволинейный интеграл второго рода

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Пусть т. Р(x,y) движется вдоль некоторой плоской линии L от точки М к точке N. К точке Р приложена сила Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru , которая меняется по величине и направлению при перемещении т. Р вдоль кривой L, т.е. Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru представляет

собой функцию координат точки Р.

Вычислим работу А силы Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru при перемещении т. Р из положения М в положение N. Для этого разобьем кривую MN на n частей точками

М0 = М, М1, М2, …, Мn = N

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru Обозначим вектор Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru , величину силы Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru в т.Мi через Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Тогда Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru - работа силы Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru вдоль дуги Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Пусть Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru ,

где P(x, y), Q(x, y) – проекции вектора Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru на оси ox, oy,

а Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru – скалярное произведение двух векторов.

Следовательно

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Работа А силы Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru на всей кривой MN будет

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Существует предел правой части при Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Этот предел называют криволинейным интегралом второго рода и обозначают

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru или Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

(М) – читаем т. М, (N) – точка N.

Если кривая L пространственная, то

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru

Криволинейный интеграл второго рода - student2.ru )

Наши рекомендации