Исследование функций с помощью производной

1. Условия постоянства, возрастания и убывания функций

Пусть f(x) определена в V(x₀).

Определение 1. Функция f называется возрастающей в точке x₀, если $V(x₀,d) точки x₀, такая, что

f(x)<f(x₀) при x<x₀("xÎ(x₀-d, x₀),

f(x)>f(x₀) при x>x₀("xÎ(x₀, x₀+d).

Определение 2. Функция f называется убывающей в точке x₀, если $V(x₀,d) точки x₀, такая, что

f(x)>f(x₀) при x<x₀("xÎ(x₀-d, x₀),

f(x)<f(x₀) при x>x₀("xÎ(x₀, x₀+d).

Теорема 1. Если функция f дифференцируема в точке x₀ и f¢ (x₀)>0 (f¢(x₀)<0), то f возрастает (убывает) в точке x₀.

Доказательство.

По определению производной .

Пусть f¢ (x₀)>0 (случай f¢ (x₀)<0 доказывается аналогично). По определению предела функции по Коши получаем:

"e>0 (e=f¢ (x₀)) $d>0: "x: |x-x₀|<d выполнено Û Û (1)

(1) выполнено .

Возьмем , т. е. xÎ(x₀-d, x₀) Þ x-x₀<0. Тогда из того, что Þ f(x)<f(x₀).

Возьмем , т. е. xÎ(x₀, x₀+d) Þ x-x₀>0. Тогда из того, что Þ f(x)>f(x₀).

На основании определения 1 функция f возрастает в точке x₀.

Замечание. Условие f¢ (x₀)>0 (f¢ (x₀)<0) не является необходимым для возрастания (убывания) функции в точке x₀. Т. е. из того, что f(x) возрастает (убывает)в точке x₀ не следует, что f¢ (x₀)>0 (f¢ (x₀)<0).

Пример. D f(x)=x³, . Рассмотрим точку x=0.

f¢ (x)=3x², f¢ (0)=0, но в точке х=0 функция возрастает. D

Теорема 2 (признак постоянства функции) Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Для того, чтобы f(x) была постоянной на [a;b] необходимо и достаточно, чтобы f¢(x)=0 "xÎ(a;b).

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть f(x)=cºconst, f¢(x)=c¢=0.

2) Достаточность.

f¢(x)=0 "xÎ(a;b). Выберем "x₁, x₂Î[a;b]: x₁<x₂. К [x₁;x₂] применим теорему Лагранжа: $с: f(x₂)-f(x₁)=f¢ (c)(x₂-x₁), x₁<c<x₂. По условию f¢ (c)=0, x₂-x₁>0 Þ f(x₁)=f(x₂) "x₁, x₂Î[a;b], x₁¹x₂ Þ f(x)=cºconst.

Следствие. Пусть f(x), g(x) определены и непрерывны на [a;b] и дифференцируемы на (a;b). Если f¢ (x)=g¢ (x)"xÎ(a;b), то f(x), g(x) отличаются друг от друга на постоянную.

Доказательство следует из теоремы 2 (применить для функции F(x)=f(x)-g(x)).

Теорема 3 (признак монотонности функции). Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Функция не убывает (не возрастает) на [a;b] Û f¢ (x)³0 (f¢ (x)£0) на (a;b).

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть f не убывает на [a;b] (случай невозрастания доказывается аналогично).

Тогда по определению "x, x₀Î[a;b]: x<x₀ Þ f(x)£ (x₀) Þ ,

"x, x₀Î[a;b]: x>x₀ Þ f(x)³ (x₀) Þ .

Следовательно, , т. е. . Т. к. x₀Î[a;b] - произвольная точка, то необходимость доказана.

2) Достаточность.

Пусть f¢ (x)³0 на (a;b) (случай f¢ (x)£0 доказывается аналогично). Возьмем "x₁, x₂Î[a;b]: x₁<x₂. К [x₁;x₂] применим теорему Лагранжа: $сÎ( x₁;x₂):

f(x₂)-f(x₁)=f¢ (c)(x₂-x₁). Т. к. f¢ (с)³0, x₂-x₁>0, то f(x₂)-f(x₁)³0. Т. е. f(x₂)³ f(x₁). По определению функция не убывает на [a;b].

Теорема 4. Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Если f¢ (x)>0 (f¢(x)<0), то f возрастает (убывает) на (a;b).

Доказывается так же, как и п. 2) теоремы 3.

Замечание. Условие теоремы 4 является достаточным, а не необходимым. Например, функция y=x³ возрастает на , а f¢ (0)=0.

2. Экстремум функции

Пусть f(x) определена в V(x₀).

Определение 1.Точка х=х₀ называется точкой максимума функции f, если существует окрестность ÌV(x₀), в пределах которой выполнено неравенство f(x)£f(x₀).

Значение функции в точке x₀ называется максимумом функции.

Определение 2.Точка х=х₀ называется точкой минимума функции f, если существует окрестность ÌV(x₀): "xÎ выполнено f(x)³f(x₀).

Значение функции в точке x₀ называется минимумом функции.

Определение 3.Точка х=х₀ называется точкой строгого максимума (строгого минимума) функции f, если существует ÌV(x₀): "xÎ выполнено неравенство f(x)< f (x₀) (f(x)>f(x₀)).

Значение функции в точке x₀ называется строгим максимумом (строгим минимумом) функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

Можно доказать, что если функция непрерывна на (a;b) и имеет несколько максимумов и минимумов, то они чередуются. Понятия максимума и минимума являются локальными, т. е. понятиями, относящимися не ко всей области определения функции, а только к окрестности некоторой точки. Не следует смешивать понятия максимума и минимума с наибольшим и наименьшим значением функции на <a;b>. Функция f может иметь несколько максимумов (минимумов), но они не будут наибольшими (наименьшими) значениями функции. Функция может иметь наибольшее и наименьшее значения, но они не будут ни максимумом, ни минимумом.

Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Пусть f(x) определена в V(x₀). Если функция имеет в точке x₀ экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Доказательство.

По условию функция имеет в точке x₀ экстремум. Следовательно, существует окрестность ÌV(x₀), в пределах которой f (x₀) является наибольшим или наименьшим значением функции f . По теореме Ферма, если существует f ¢(x₀), то f ¢(x₀)=0. Для завершения доказательства приведем пример, когда функция, не дифференцируемая в точке, имеет в этой точке экстремум.

y=|x|, . х=0 – точка минимума, т. к. f(0)=0 и "х¹0 f(x)>0, но f(x) не дифференцируема в точке х=0.

Определение. Пусть f(x) определена в V(x₀). Точка x₀ называется стационарной точкой функции f, если f ¢(x₀)=0. Точка x₀ называется критической точкой функции f, если f ¢(x₀)=0 или не существует.

Из теоремы 4 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.

Пример. D f(x)=x³, f ¢(x)=3x², f ¢(0)=0.Но х=0 не является точкой экстремума. Действительно, при x<0 f(x)<0, а при x>0 f(x)>0. Следовательно, х=0 не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. D

Т. о., критические точки являются точками возможного экстремума. Найдя критические точки, необходимо подвергнуть их дальнейшему исследованию.

Теорема 6 (первое достаточное условие экстремума). Пусть f дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, в которой она непрерывна. Пусть f ¢(x) сохраняет знак в отдельности как слева, так и справа от точки x₀, т. е. в интервалах (x₀-d; x₀), (x₀;x₀-d). Если:

1) f ¢(x)>0 при x<x₀ и f ¢(x)<0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого максимума;

2) f ¢(x)<0 при x<x₀ и f ¢(x)>0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого минимума;

3) f ¢(x)>0 или f ¢(x)<0 "xÎV(x₀), то x=x₀ не является точкой экстремума.

Доказательство.

1) Возьмем "xÎV(x₀,d). Применим теорему Лагранжа к отрезку [x₀;x] или [x;x₀]. Получим (1) f(x)-f(x₀)=f¢(c)(x-x₀), cÎ(x₀;x) (или сÎ(x;x₀)). Пусть x<x₀ Þ x-x₀<0. Т. к. с<x₀, то f ¢(c)>0. Из (1) Þ f(x)-f(x₀)<0, т. е. f(x)<f(x₀). Пусть x>x₀ Þ x-x₀>0. Т. к. с>x₀, то f ¢(c)<0. Из (1) Þ f(x)-f(x₀)<0, т. е. f(x)<f(x₀). Следовательно, "xÎV(x₀,d) f(x)<f(x₀). Значит, то x=x₀ - точка строгого максимума.

2) Аналогично.

3) Пусть f ¢(x)>0 "xÎ .

Если x<x₀, т. е. x-x₀<0, то из (1), т. к. f ¢(c)>0, следует f(x)-f(x₀)<0, т. е. f(x)<f(x₀).

Если x>x₀, т. е. x-x₀>0, то из (1), т. к. f ¢(c)>0, следует f(x)-f(x₀)>0, т. е. f(x)>f(x₀).

Следовательно, f(x₀) не является ни наименьшим, ни наибольшим значением функции f(x) в . Значит, x₀ не является точкой экстремума.

Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на <a;b>

Пусть f(x) на <a;b> имеет несколько критических точек. Расположим их в порядке возрастания: a<x₁<x₂<…<x_n<b. Они делят <a;b> на интервалы (а;x₁), (x₁;x₂),…,(x_n;b). В каждом из них f ¢(x₀)¹0, она знакопостоянна (положительна, или отрицательна). Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по теореме 6.

Теорема 7 (второе достаточное условие экстремума). Пусть для функции f в стационарной точке x₀ . Тогда функция имеет в точке x₀ максимум, если и минимум, если .

Доказательство.

Пусть . Тогда по теореме 1 f ¢(x) возрастает в точке x₀. Докажем, что x₀ - точка строгого минимума. Т.к. f ¢(x₀)=0, то $V(x₀,d): f ¢(x)<0 при x<x₀ и f ¢(x)>0 при x>x₀. Тогда по теореме 5 x₀ - точка строгого минимума.

Для случая доказательство аналогично.

Пример.

D

f ¢(x)=x³-4x, f ²(x)=3x²-4

f ¢(x)=0 при x₁=0, x₂=2, x₃=-2

f ²(0)=-4 Þ x=0 – точка строго максимума, maxf(x)=f(0)=3

f ²(±2)=8 Þ x=±2 – точки строго минимума, minf(x)=f(±2)=-1. D

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на этом отрезке и, в силу II – й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Если функция имеет наибольшее значение на (a;b), то это – один из максимумов. Но функция может иметь наибольшее значение и на концах отрезка [a;b]. Аналогичные рассуждения – для минимума. Значит, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] надо:

1) найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [a;b];

2) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

4. Выпуклость функции

Пусть функция f(x) дифференцируема на <a;b>. Тогда существует касательная к графику функции f(x) в любой точке М(x;f(x)), xÎ<a;b>, причем эти касательные не параллельны оси Оу.

Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на <a;b>, если график функции в пределах <a;b> лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема 8. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на <a;b>. Тогда если f ²(x)³0 (f ²(x)£0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на <a;b>.

Доказательство.

Пусть f ²(x)³0 "хÎ<a;b>. Зафиксируем произвольное х₀Î(a;b). Докажем, что график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной в точке М₀(x₀;f(x₀)). Уравнение касательной:

y_кас.-f(x₀)=f ¢(x₀)(x-x₀). (1)

Разлагая f(x) по формуле Тейлора для n=1 "хÎ(a;b), получим

, х¹х₀, х₀<c<x (x<c<х₀) (2)

Вычтем (1) из (2):

, сÎ(х₀;х) (сÎ(х;х₀)). (3)

"хÎ(a;b) f ²(x)³0, сÎ(х₀;х)Ì(a;b). Следовательно, f ²(с)³0.

Тогда из (3) следует y-y_кас.³0 "хÎ(a;b), т. е. y³y_кас. "хÎ(a;b). Следовательно, график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной. Т. к. х₀ - произвольная точка из интервала (a;b), то f(x) выпукла вниз на <a;b>.

Пример.

D y=f(x)=x³,

f ¢(x)=3x², f ²(x)=6x

f ²(x)³0 при x³0 Þ на [0;+¥) функция выпукла вниз,

f ²(x)£0 при x£0 Þ на (-¥;0] функция выпукла вверх. D

5. Точки перегиба

Пусть f(x) определена и непрерывна в V(x₀).

Определение.Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f(x).

В примере х=0 – точка перегиба.

Теорема 9 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x₀ функции f(x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Доказательство.

Пусть в точке перегиба x₀ существует непрерывная f ²(x₀). В условиях теоремы для f ²(x₀) возможны 3 случая.

1) f ²(x₀)>0. Следовательно, т. к. f ²(x₀) непрерывна, $V(x₀), в которой f ²(x)>0, т. е. в точке x₀ функция не меняет направления выпуклости. Значит, x₀ не является точкой перегиба.

2) f ²(x₀)<0. Следовательно, $V(x₀), в которой f ²(x)<0. Значит, x₀ не является точкой перегиба.

3) f ²(x₀)=0.

В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Пример.

D , .

, .

Следовательно, в точке х₀=0 f ² не существует.

При x>0 f ²(x)>0 Þ на (0;+¥) функция выпукла вниз,

При x<0 f ²(x)<0 Þ на (-¥;0) функция выпукла вверх.

Значит, х₀=0 - точка перегиба. D

Т. о., точками возможного перегиба являются те точки из области определения функции, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Но не каждая такая точка является точкой перегиба.

Пример.

D y=f(x)=x⁴

f ¢(x)=4x³, f ²(x)=12x².

f ²(x)=0 Û х=0. Но "х f ²(x)³0, следовательно, функция выпукла вниз на . Значит, х₀=0 не является точкой перегиба, хотя f ²(x₀)=0. D

Т. о., точки возможного перегиба требуют дальнейшего исследования.

Теорема 10(первое достаточное условие перегиба). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в , где x₀ – точка возможного перегиба. Если

1) f ²(x) меняет знак при переходе через x₀, то x₀ - точка перегиба функции f(x);

2) f ²(x) не меняет знака при переходе через x₀, то x₀ не является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.

1) Слева и справа от x₀ функция по теореме 7 имеет разное направление выпуклости, следовательно, x₀ - точка перегиба функции f(x).

2) В точке x₀ функция не меняет направления выпуклости, следовательно, x₀ не является точкой перегиба.

Теорема 11.(второе достаточное условие перегиба). Если f ²(x₀)=0, а , то x₀ - точка перегиба функции f(x).

Доказательство.

По условию .

Если , то f ²(x) возрастает в точке x₀. Т. к. f ²(x₀)=0, то справа и слева от x₀ имеет разные знаки. Тогда по теореме 9 x₀ - точка перегиба.

Если , то f ²(x) убывает в точке x₀. Т. к. f ²(x₀)=0, то справа и слева от x₀ имеет разные знаки. Следовательно, x₀ - точка перегиба.

Если f ²(x₀)=0 и , то можно определить перегиб с помощью других достаточных условий, использующих производные высших порядков.

Асимптоты графика функции

Определение 1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а равен +¥ или -¥.

Пример. D х=0 – вертикальная асимптота графика функции : , . D

Определение 2. Пусть f(x) определена "x>a (x<a), . Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при х®+¥ (х®-¥), если f(x)=kx+b+a(х), где .

При k¹0 y=kx+b – наклонная асимптота, при k=0 прямая y=b – горизонтальная асимптота.

Теорема. Для того, чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой графика функции f(x) при х®+¥ (х®-¥), необходимо и достаточно, чтобы существовали 2 конечных предела:

, (1) . (2)

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть прямая y=kx+b – наклонная асимптота графика функции при х®+¥. Тогда по определению f(x)=kx+b+a(х), где . Отсюда

,

.

2) Достаточность.

Пусть существуют пределы (1) и (2). Из (2) следует f(x)-kx=b+a(х), где . Следовательно, f(x)=kx+b+a(х), и, значит, прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х®+¥.

Пример. Найти асимптоты графика функции .

D 1) Вертикальные асимптоты.

.

Функция является элементарной, следовательно, непрерывна в области определения, х=0 – точка разрыва. Найдем односторонние пределы в этой точке:

, .

Следовательно, х=0 – точка разрыва второго рода, прямая х=0 – вертикальная асимптота графика функции.

2) Наклонные асимптоты.

1 способ (по определению). . Т. е. f(x)=kx+b+a(х), где k=1, b=0, . Значит, прямая y=x – наклонная асимптота графика функции при х®±¥.

2 способ (по теореме).

Þ k=1,

Þ b=0. Следовательно, прямая y=x – наклонная асимптота графика функции при х®±¥. D

Схема полного исследования функции.

1. Найти область определения ( и множество значений, если просто).

2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и вертикальные асимптоты (если есть).

4. Исследовать поведение функции в окрестности граничных точек области определения и при х®±¥.

5. Найти (если есть) наклонные асимптоты графика функции.

6. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

7. Исследовать функцию на направление выпуклости и точки перегиба.

8. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства.

9. Построить график.

Пример. .

1) .

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, не является периодической.

3) х=-3 – точка разрыва.

, .

Следовательно, х=-3 – точка разрыва второго рода, прямая х=-3 – вертикальная асимптота графика функции.

4) , .

5) , .

При х®-¥ k=0.

.

b=0 при х®-¥. Следовательно, прямая у=0 – горизонтальная асимптота графика функции при х®-¥.

При х®+¥ наклонных асимптот нет.

6) .

х=-2 – точка минимума, у(-2)=е – минимум.

7)

на D(f), y² не существует в точке х=-3.

Точек перегиба нет.

8) Ось Ох график не пересекает.

Ось Оу: х=0, .

y>0 при xÎ(-3;+¥), y<0 при xÎ(-¥;0).