Сследование функций с помощью первой производной

Производная находит многочисленные применения к исследованию функций и построению графиков функций.

Рассмотрим возможные приложения производной к решению вопроса о монотонности функции на некотором промежутке

Теорема 1(необходимые и достаточные условия монотонности функции). Если функция сследование функций с помощью первой производной - student2.ru определена и непрерывна в промежутке сследование функций с помощью первой производной - student2.ru и внутри него имеет конечную производную, то необходимым и достаточным условием неубывания (невозрастания) функции сследование функций с помощью первой производной - student2.ru в сследование функций с помощью первой производной - student2.ru является сследование функций с помощью первой производной - student2.ru сследование функций с помощью первой производной - student2.ru .

Определение 1. Точка сследование функций с помощью первой производной - student2.ru называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , если сследование функций с помощью первой производной - student2.ru такая сследование функций с помощью первой производной - student2.ru окрестность сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , что сследование функций с помощью первой производной - student2.ru сследование функций с помощью первой производной - student2.ru .

Точки локального максимума и локального минимума функции сследование функций с помощью первой производной - student2.ru называются точками локального экстремума.

Теорема 2(необходимое условие локального экстремума). Если функция сследование функций с помощью первой производной - student2.ru дифференцируема в точке сследование функций с помощью первой производной - student2.ru и в ней имеет локальный экстремум, то сследование функций с помощью первой производной - student2.ru .

В точках локального экстремума касательная параллельна оси сследование функций с помощью первой производной - student2.ru .

Определение 2.Точки сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , в которых сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , называются стационарными точками, или точками возможного экстремума.

ПРИМЕР1. Пусть задана функция сследование функций с помощью первой производной - student2.ru . сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , сследование функций с помощью первой производной - student2.ru – стационар- ная точка, но не является точкой локального экстремума.

Теорема 3(1-е достаточное условие локального экстремума).Пусть функция сследование функций с помощью первой производной - student2.ru дифференцируема в некоторой сследование функций с помощью первой производной - student2.ru –окрестности стационарной точки сследование функций с помощью первой производной - student2.ru . Тогда, если сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , сследование функций с помощью первой производной - student2.ru при сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , а сследование функций с помощью первой производной - student2.ru сследование функций с помощью первой производной - student2.ru при сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , то в точке сследование функций с помощью первой производной - student2.ru функция имеет локальный максимум (локальный минимум).

Если сследование функций с помощью первой производной - student2.ru во всей сследование функций с помощью первой производной - student2.ru -окрестности точки сследование функций с помощью первой производной - student2.ru имеет один и тот же знак, то в точке сследование функций с помощью первой производной - student2.ru локального экстремума нет.

ПРИМЕР 2.Найти точки экстремума функции сследование функций с помощью первой производной - student2.ru .

Решение. сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , сследование функций с помощью первой производной - student2.ru .

сследование функций с помощью первой производной - student2.ru – стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума, так как сследование функций с помощью первой производной - student2.ru . Точек экстремума нет.

Замечание.В точке экстремума производная может не существовать или обращаться в бесконечность (критическая точка!), но обязательно меняет знак в сследование функций с помощью первой производной - student2.ru окрестности этой точки. В этом случае экстремум называют острым (в противоположность гладкому экстремуму, который имеет функция с непрерывной производной). Примером может служить функция сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , у которой в точке сследование функций с помощью первой производной - student2.ru производная не существует, но сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , а сследование функций с помощью первой производной - student2.ru .

Теорема 4 (2-е достаточное условие экстремума). Пусть функция сследование функций с помощью первой производной - student2.ru в стационарной точке сследование функций с помощью первой производной - student2.ru дважды непрерывно дифференцируема. Тогда функция сследование функций с помощью первой производной - student2.ru имеет в точке сследование функций с помощью первой производной - student2.ru максимум, если сследование функций с помощью первой производной - student2.ru и минимум, если сследование функций с помощью первой производной - student2.ru .

Задание 1. Построить график функции сследование функций с помощью первой производной - student2.ru с помощью производной первого порядка.

Решение. Для функции сследование функций с помощью первой производной - student2.ru найдем:

1) производную первого порядка: сследование функций с помощью первой производной - student2.ru сследование функций с помощью первой производной - student2.ru критические точки – решения системы уравнений.

Given

сследование функций с помощью первой производной - student2.ru

сследование функций с помощью первой производной - student2.ru

сследование функций с помощью первой производной - student2.ru сследование функций с помощью первой производной - student2.ru

Замечание. Внимание, для того чтобы переменная х была определена необходимо нажать сочетание клавиш “Ctrl” + “=”.

2) определим: есть ли экстремумы среди точек -3 и -4 с помощью графика производной функции. сследование функций с помощью первой производной - student2.ru

При переходе через точку сследование функций с помощью первой производной - student2.ru производная сследование функций с помощью первой производной - student2.ru меняет знак с «–» на «+», значит, сследование функций с помощью первой производной - student2.ru – точка минимума функции. При переходе через точку сследование функций с помощью первой производной - student2.ru производная сследование функций с помощью первой производной - student2.ru меняет знак с «+» на «-», значит, сследование функций с помощью первой производной - student2.ru – точка максимума функции.

Функция убывает на промежутках сследование функций с помощью первой производной - student2.ru и сследование функций с помощью первой производной - student2.ru , возрастает на промежутке сследование функций с помощью первой производной - student2.ru .

3) строим график функции. сследование функций с помощью первой производной - student2.ru

сследование функций с помощью первой производной - student2.ru

Рис.1 – Выполнение задания 1

Наши рекомендации