Функция одной случайной величины
Пусть дана функция одной переменной с областью определения и некоторая случайная величина , все значения которой принадлежат множеству . Тогда, если приняла значение , будем считать, что новая случайная величина приняла значение . Эта новая случайная величина называется функцией случайной величины , и в этом случае пишут: .
Вопрос состоит в том, каков закон распределения , если мы знаем закон распределения .
Остановимся сначала на дискретной случайной величине , закон распределения вероятностей которой задается таблицей
Событие происходит с вероятностью , с этой же вероятностью примет значение . Мы имеем таблицу распределения
Значения | ||||
вероятности |
Если существует несколько значений , для которых принимает одно и то же значение, то все такие случаи объединяются в один, которому соответствует по теореме сложения вероятность, равная сумме вероятностей объединяемых случаев.
Пример. Пусть распределение случайной величины задается следующим образом:
-2 | -1 | ||||
0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.2 |
Требуется найти законы распределения случайных величин и .
Решение. Возможные значения : . Отсюда принимает значения 0, 1, 4 соответственно с вероятностями 0.3; 0.1+0.3=0.4; 0.1+0.2=0.3. Таким образом, таблицей распределения будет таблица вида
0.3 | 0.4 | 0.3 |
Так как функция - взаимно однозначная, то различным значениям отвечают различные значения и, следовательно, таблицей распределения этой случайной величины будет таблица вида
-8 | -1 | ||||
0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.2 |
Теперь остановимся на случае, когда - непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Пусть имеется монотонно возрастающая на множестве значений случайной величины функция ( - непрерывно дифференцируемая и ). Если множество значений и и ,то функция распределения
0
. Здесь – есть плотность распределения .
Для
( - функция, обратная к на сегменте ). Отсюда
(мы воспользовались теоремой Барроу о производной от определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому верхнему пределу).
Если - монотонно убывающая функция и для всех из промежутка , то для функция распределения имеет вид
,
а плотность - , так как - функция монотонно убывающая и ее производная отрицательная.
Пример. Пусть принимает значения только на сегменте с плотностью распределения . Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. – функция монотонная возрастающая, обратная к ней функция , а . Поэтому, плотность распределения будет
Пример. Даны две независимые случайные величины: – число появлений герба при двух подбрасываниях монеты и – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения разности .
Решение. Запишем законы распределения данных случайных величин и .
и
Составим таблицу распределения случайной величины , полагая .
… | … | … | … | … | … | … | … | |||||||||||
-1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -1 | -2 | -3 | -4 |
Тогда
-6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | |||
или
-6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | |||