Общие свойства функции распределения

Сформулируем общие свойства функции распределения:

1. Общие свойства функции распределения - student2.ru - неубывающая, т.е. при Общие свойства функции распределения - student2.ru , Общие свойства функции распределения - student2.ru ;

2. Общие свойства функции распределения - student2.ru ;

3. Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Проиллюстрируем эти свойства с помощью геометрической интерпретации. Будем рассматривать случайную величину Общие свойства функции распределения - student2.ru как случайную точку Общие свойства функции распределения - student2.ru на оси ОХ.

Тогда Общие свойства функции распределения - student2.ru есть вероятность того, что случайная точка Общие свойства функции распределения - student2.ru в результате опыта попадет левее точки Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Очевидно, при этом вероятность того, что Общие свойства функции распределения - student2.ru попадет левее Общие свойства функции распределения - student2.ru , не может уменьшаться; следовательно, Общие свойства функции распределения - student2.ru с возрастанием Общие свойства функции распределения - student2.ru убывать не может.

Неограниченно перемещаем точку Общие свойства функции распределения - student2.ru влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки Общие свойства функции распределения - student2.ru левее Общие свойства функции распределения - student2.ru в пределе становится невозможным событием: естественно полагать, что вероятность этого события ® 0, т.е. Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Аналогично перемещая точку Общие свойства функции распределения - student2.ru вправо, убеждаемся, что Общие свойства функции распределения - student2.ru , т. к. событие Общие свойства функции распределения - student2.ru становится в пределе достоверным.

То, что Общие свойства функции распределения - student2.ru – монотонно неубывающая функция на всей числовой прямой, можно показать следующим образом: пусть Общие свойства функции распределения - student2.ru . Рассмотрим событие Общие свойства функции распределения - student2.ru = Общие свойства функции распределения - student2.ru и Общие свойства функции распределения - student2.ru = Общие свойства функции распределения - student2.ru . Общие свойства функции распределения - student2.ru Æ, Общие свойства функции распределения - student2.ru . Применим теорему сложения для несовместных событий Общие свойства функции распределения - student2.ru и Общие свойства функции распределения - student2.ru :

Общие свойства функции распределения - student2.ru

или Общие свойства функции распределения - student2.ru , т.е. Общие свойства функции распределения - student2.ru , т.к. Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Из полученного только что равенства имеем:

Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Отсюда следует, что какой бы ни был задан полуинтервал Общие свойства функции распределения - student2.ru , зная Общие свойства функции распределения - student2.ru , мы можем рассчитывать вероятность, с которой случайная величина Общие свойства функции распределения - student2.ru принимает значение Общие свойства функции распределения - student2.ru . Если вероятность оказалась, например, равной нулю, то это значит, что на данном промежутке нет возможных значений Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Построим график функции распределения Общие свойства функции распределения - student2.ru – это график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрывы.

Общие свойства функции распределения - student2.ru F(X)

Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru 1

Общие свойства функции распределения - student2.ru

Общие свойства функции распределения - student2.ru

Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru

0 X

Зная ряд распределения случайной величины легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,

Общие свойства функции распределения - student2.ru ,

где неравенство Общие свойства функции распределения - student2.ru под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения Общие свойства функции распределения - student2.ru , которые меньше Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Пример. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых может появиться или не появиться событие Общие свойства функции распределения - student2.ru . Построить функцию распределения числа появлений события Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Решение. Обозначим через Общие свойства функции распределения - student2.ru - число появлений события Общие свойства функции распределения - student2.ru в четырех опытах. Эта величина имеет ряд распределения

Общие свойства функции распределения - student2.ru
Общие свойства функции распределения - student2.ru 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081

Построим функцию распределения случайной величины Общие свойства функции распределения - student2.ru

1. при Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru 0 Общие свойства функции распределения - student2.ru =0

2. Общие свойства функции распределения - student2.ru при 0< Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru 1 Общие свойства функции распределения - student2.ru =0,2401

3. при 1< Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru 2 Общие свойства функции распределения - student2.ru =0,6517

4. при 2< Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru 3 Общие свойства функции распределения - student2.ru =0,9163

5.при 3< Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru 4 Общие свойства функции распределения - student2.ru =0,991

6. Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru при 4> Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru =1

 
  Общие свойства функции распределения - student2.ru

0 1 2 3 4 Общие свойства функции распределения - student2.ru

Функция распределения любой дискретной величины есть разрывная ступенчатая функция, разрывы которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины.

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число разрывов становится больше, а сами разрывы (скачки) меньше; ступенчатая кривая становится более плавной; случайная величина приближается к непрерывной случайной величине, а ее функция распределения - к непрерывной функции.

Общие свойства функции распределения - student2.ru На практике обычно функция распределения для непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках.

Общие свойства функции распределения - student2.ru

Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru 1 ----------------------

       
    Общие свойства функции распределения - student2.ru
 
  Общие свойства функции распределения - student2.ru

0 Общие свойства функции распределения - student2.ru

Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина Общие свойства функции распределения - student2.ru с функцией распределения Общие свойства функции распределения - student2.ru , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от Общие свойства функции распределения - student2.ru до Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Общие свойства функции распределения - student2.ru ,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать Dx®0. В пределе получим производную от функции распределения

Общие свойства функции распределения - student2.ru

Обозначим Общие свойства функции распределения - student2.ru . (*)

Функция Общие свойства функции распределения - student2.ru - производная функции распределения, характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины Общие свойства функции распределения - student2.ru . Иногда Общие свойства функции распределения - student2.ru называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru

 
  Общие свойства функции распределения - student2.ru

Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru

Плотность распределения так же, как и функция распределения есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Общие свойства функции распределения - student2.ru с плотностью распределения Общие свойства функции распределения - student2.ru и элементарный участок Общие свойства функции распределения - student2.ru , примыкающий к точке Общие свойства функции распределения - student2.ru . Вероятность попадания случайной величины Общие свойства функции распределения - student2.ru на этот элементарный участок есть Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru

Общие свойства функции распределения - student2.ru

Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru Общие свойства функции распределения - student2.ru

Выразим вероятность попадания величины Общие свойства функции распределения - student2.ru на отрезок от Общие свойства функции распределения - student2.ru до Общие свойства функции распределения - student2.ru через плотность распределения. Очевидно, оно равно

Общие свойства функции распределения - student2.ru .

Формула (*) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

Общие свойства функции распределения - student2.ru ,

откуда Общие свойства функции распределения - student2.ru .


Наши рекомендации