Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения случайной величины X является функция распределения.

Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru , которая для любого числа Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru равна вероятности события, состоящего в том, что случайная величина Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru примет значение, меньшее, чем Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru , т. е. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru .

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точкаX попадет левее данной точки x (рис. 2).

Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru

Рис. 2

Функция F(x) существует как для дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru ;

2. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru - неубывающая функция, т. е. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru , если Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru ;

3. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru , Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru ;

4. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru - непрерывна слева в любой точке x, т. е. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru , Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru ;

5. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru .

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru ,

где суммирование ведется по всем индексам Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru , для которых Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru . Для дискретной случайной величиныфункция распределения естьразрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

С помощью функции распределения можно дать более строгое определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru . Поэтому для непрерывной случайной величины X имеем

Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru . (*)

Для непрерывных случайных величин кроме функции распределения существует еще один удобный способ задания закона распределения – плотность вероятности.

Пусть функция распределения Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru данной непрерывной случайной величины X непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины X (или плотностью вероятности, или просто плотностью) называется функция Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru .

Функцию Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru называют также дифференциальной функцией распределения.

Плотность распределения любой непрерывной случайной величины неотрицательна, т. е. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru ; обладает свойством нормированности:

Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru ; Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru .

График функции Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru называется кривой распределения.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой

Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru (1)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru в промежуток Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru определяется равенством:

Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины - student2.ru . (2)

Числовые характеристики случайных величин

Наши рекомендации