Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти
и при 
обе эти функции бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в точке 
и, следовательно, представляет собой неопределенность типа 
или 
соответственно. Поскольку это отношение в точке может иметь предел, конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности (правило ЛопиталяБернули),
и имеет место следующее равенство:
, если 
и 
.
1. 
(здесь имеет место неопределенность типа )=
= 
.
Аналогичное правило имеет место, если 
и 
, т.е. .
2. 
(неопределенность типа 
)
= 
= 
.
Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа 
и 
. Для вычисления 
, где 
- бесконечно малая, а 
- бесконечно большая при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать произведение к виду
(неопределенность типа ) или к виду 
(неопределенность типа ) и далее использовать правило Лапиталя.
3.
Для вычисления 
, где и - бесконечно большие при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать разность к виду 
, затем раскрыть неопределенность 
типа . Если 
, то 
.
Если же 
, то получается неопределенность типа ( 
), которая раскрывается аналогично примеру 12).
4. 
.
Так как 
, то получим в итоге неопределенность типа 
и далее имеем
.
Правилом Лопиталя можно пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа 
. В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения 
, где в случае 
есть бесконечно малая, в случае 
- бесконечно большая, а в случае 
- функция, предел которой равен единице.
Функция 
в первых двух случаях является бесконечно малой, а в последнем случае – бесконечно большой функцией.
Прежде чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т.е. если 
, то 
, затем находят предел 
, и после чего находят предел 
. Во всех перечисленных случаях является неопределенностью типа 
, которую раскрывают аналогично примеру 12).
5. 
(воспользуемся правилом Лопиталя)=
= 
.
В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:
и тогда 
.
6. 
= 
;
.
7. 
;
= 
;
.
8. 
;
= 
;
.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Первообразная
Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскании производной или дифференциала заданной функции 
. Рассмотрим обратную задачу. По заданной функции ¦(x)восстановить такую функцию F(x), для которой ¦(x) была бы производной, т.е. 
. Такую функцию F(x) принято называть первообразной для ¦(x).
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной (или примитивной) для функции ¦(x) на некотором множестве X, если для любого xÎX выполняется равенство 
.
Пример 1. Функция 
является первообразной для функции 
на всей оси OX, т.к. для любого xÎR мы будем иметь 
.
Из этого примера важно заметить, что первообразной для функции является не только , но и функция 
, где C – любая постоянная, т.к. 
. Указанное обстоятельство справедливо для любой функции ¦(x), имеющей первообразную.
А именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1.Пусть F(x) – какая-нибудь первообразная для функции ¦(x) на некотором множестве X, тогда функция F(x)+C, где C – любая постоянная, также будет первообразной для ¦(x).
Обратно, всякая первообразная для ¦(x) на множестве X может быть представлена в виде F(x)+C.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции ¦(x) называется неопределенным интегралом от функции ¦(x) и обозначается символом 
.
Итак, по определению 
(1).
В силу установившейся традиции равенство (1) без явного обозначения множества справа, т.е. вида 
, при этом C называется произвольной постоянной.