Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если .

Пусть и - две бесконечно малые функции при .

1) Если , то называются бесконечно малой более высокого порядка чем (при );

2) Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (при );

3) Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Эквивалентность обозначается так: ~ при .

Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при :

~ , ~ , ~ , ~ , ~ ,

~ , ~ , ~ , ~ , ~ ,

Пример 5. Найти пределы:

а) , б) .

Решение. а) =

б) = .

Пример 6. Найти предел:

.

Контрольные вопросы:

1. Понятие последовательности.

2. Понятие предела последовательности

4. Определение предела функции.

5. Свойства пределов.

6. Два замечательных предела.

7. Понятие эквивалентных бесконечно малых функций.

8.Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

Задания.

1. Вычислить пределы:

а) б) в) г)

2.Найти пределы последовательностей:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

3. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными вычислить следующие пределы:

а) б) в)

Занятие 3.

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существует ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. ,

Обозначая (приращение аргумента) и , (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: , т.е. функция непрерывна в точке тогда и только тогда, тогда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.

Функция называется непрерывной в точке справа, если выполняется условие (когда стремится к справа, оставаясь больше ).

Если , то говорят, что функция непрерывна слева (когда стремится к слева, оставаясь меньше ).

.

Если непрерывна в точке слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Функция имеет разрыв в точке , если она определена в сколь угодно близких точках к , но в самой точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.

Конечным разрывом или разрывом первого рода называется разрыв функции в точке , если существуют конечные односторонние пределы

и .

Скачком функции в точке называется разность его односторонних пределов , если они различны.

Если = , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами 2-го рода.

Если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то разрыв функции называется бесконечным.

Пример 1.

Исследовать функцию на непрерывность; непрерывность справа и слева и установить характер точек разрыва, где

Решение. При можно сократить на .

Следовательно, при . Легко

видеть, что . Значит, при функция будет разрывной, так как предел функции не равен значению функции в этой точке.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

Решение.Найдем односторонние пределы в точке , т.е.

.

В точке функция имеет разрыв 2 рода. Так как предел слева в точке равен значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке . При остальных значениях функция непрерывна (по теореме непрерывности суперпозиции функций).

Пример 3.Доказать непрерывность функции .

Решение.Пусть - произвольное значение на числовой прямой.

Найдем и составим разность

Оценим полученное выражение в правой части по абсолютной величине

,

.

Итак, отмечаем, что

.

Контрольные вопросы

1. Определение непрерывной функции в точке.

2. Разрыв функции в точке. Классификация разрывов.

3. Свойства непрерывных функций.

Задания.

1) Показать, что при функция имеет разрыв.

2) Найти точки разрыва функции .

3) Каков характер разрыва функции в точке .

4) Исследовать на непрерывность функции

а) ; б)

Занятие 4

Производная функции

Пусть функция определена на интервале .Определим:

- приращение аргумента в точке , а

- приращение функции в точке .

Если существует конечный предел

,

то он называется производной функции в точке .

Значение производной -есть угловой коэффициент касательной к графику функции в точке, абсцисса которой есть

Если - закон прямолинейного движения точки, то первая производная пути по времени -есть скорость этого движения.