Правило Лопиталя. Применение к вычислению пределов

Рассмотрим . Если , , функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши и существует, то (4.1.)

Формула (4.1) справедлива и в случае , если и . Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида и .

Пример 4.1.

Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида , т.к. и ,

, и .

Пример 4.2. .

Напомним, что , т.е. имеем неопределенность вида . Находим предел с помощью формулы (4.1):

.

Пример 4.3. . Здесь числитель и знаменатель одновременно стремятся к бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида Кроме того, и , т.е. необходимо применить правило Лопиталя два раза.

Неопределенности видов с помощью алгебраических преобразований можно привести к виду и применить правило Лопиталя.

Неопределенности вида и .

Если и при , то отыскание предела может быть сведено к одному из рассмотренных случаев, или с помощью тождественных преобразований: , или (4.2)

Если и при , то отыскание предела (неопределенность вида ) может быть сведено к раскрытию неопределенности вида путем тождественного преобразования разности функций в произведение

. (4.3)

Иногда удобно пользоваться и другими преобразованиями:

, или . (4.4)

Неопределенности вида , , .

При отыскании предела функции могут представиться случаи:

1. , , т.е. ;

2. , , т.е. ;

3. т.е. .

Вычисление предела функции в этих случаях сводится к раскрытию неопределенности вида с помощью следующего преобразования:

. В силу непрерывности показательной функции, получим

(4.5)

или к раскрытию неопределенностей , с помощью логарифмирования данной функции.

Пример 4.4. .

Если , то и и имеем неопределенность вида . Преобразуем данную функцию по формуле (4.3)

Пример 4.5. Неопределенность вида . Преобразуем данную функцию по формуле (4.2) , в результате получим неопределенность вида при , что дает возможность применить правило Лопиталя.

Пример 4.6: Неопределенность вида , т.к. и Преобразуем функцию по формуле (4.5) и применим к показателю степени правило Лопиталя:

Пример 4.7. Неопределенность вида . Преобразуем функцию по формуле (4.5): .

Заменим переменную, положив . При имеем и находим предел в показателе:

Окончательно, .

Пример 4.8. Неопределенность вида . По формуле (4.5)

Пример 4.9:

(Неопределенность вида ( )). Обозначив , прологарифмируем функцию и найдем предел логарифма:

т.е. , т.к. непрерывная функция

и т.е. .

4.2 Формула Тейлора и её применения.

Пусть функция имеет в точке и некоторой её окрестности все производные до го порядка включительно. Пусть любое значение аргумента из указанной окрестности . Тогда между точками и найдется такая точка с, что справедлива следующая формула:

.

Эта формула называется формулой Тейлора.

Выражение , .

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора, когда .

,

где остаточный член, записанный в форме Лагранжа, имеет вид:

, .

Разложение некоторых функций по формуле Маклорена

1)

; .

1.

; .

2.

.

3. ;

.

4.

.

Приложение формулы Маклорена.

Формула Маклорена дает возможность заменить функцию многочленом с контролируемой погрешностью, что позволяет использовать ее в приближенных вычислениях.

Пример 4.10. Найти приближенное значение с точностью до .

Решение. Представим заданный корень так: .

Воспользуемся биномиальным разложением

погрешность которого

может быть сделана как угодно малой при и достаточно большом .

Пусть и , тогда

.

Оценивая величины последовательных ошибок вычисления , находим

.

Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку , т.е. .