Вычисление пределов функций

Для успешного вычисления пределов функций необходимо знать следующие теоремы:

1) , где - постоянная;

2) , где - постоянная;

3) если и существуют, то

;

4) , если ;

5) ;

6) I и II замечательные пределы:

Рассмотрим сначала непосредственное нахождение предела функции:

Пример 1: Найти .

Проверим, не обращается ли значение знаменателя в нуль при :

Подставим предельное значение функции и получим:

Пример 2: Если предел делителя равен 0, а предел делимого есть число, отличное от нуля, то предел дроби не существует или дробь имеет бесконечный предел:

Пример 3:

Так как - бесконечно малая величина, а обратная ей - бесконечно большая величина.

;

Пример 4:

Пример 5:

Иногда при подстановке в функцию предельного значения аргумента получаются выражения вида:

; ; ; ; .

Их называют «неопределенностями».

В этих случаях для нахождения предела необходимо предварительно выполнить некоторые преобразования данного выражения.

Рассмотрим некоторые приемы.

Пример 1: Вычислить

Пример 2: Вычислить

Пример 3: Вычислить

Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы числителя и знаменателя равны 0, нужно преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого равен и сократить дробь на этот сомножитель, найти предел частного.

Нужно знать формулы:

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6:

Пример 7:

Рассмотрим примеры отыскания предела функции при .

Пример 8:

Знаменатель – бесконечно большая величина, а обратная ей – бесконечно малая величина, следовательно, .

Пример 9: Найти - числитель и знаменатель бесконечно большие величины, то есть неопределенность вида .

Преобразуем данное выражение, разделив числитель и знаменатель на , получим:

, так как ; .

Пример 10: