Возрастание и убывание функции
Теорема 4.6. (о необходимом условии монотонности функции).
Если дифференцируемая на промежутке Х функция f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке, то f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0) при всех х Х.
Теорема 4.7. (о достаточном условии монотонности функции).
Если функция f(x) дифференцируема на промежутке Х и f′(x) > 0 (f′(x) < 0)
при всех х Х, кроме возможно конечного числа точек, где f′(x) = 0, то эта функция возрастает (убывает) на Х.
Пример 4.5.
Найдем интервалы постоянной монотонности функции f(x) = ех – х.
Вычислив производную f′(x) = ех – 1, получим, что f′(x) > 0 при х > 0 и f′(x)<0, и только в единственной точке х = 0 f′(x) = 0. По теореме 4.7 функция f(x) = ех – х возрастает на (0, +∞) и убывает на (- ∞, 0).
Экстремумы функции
Определение 4.1.
Пусть функция f(x) определена на промежутке Х.
1. Точка х0 Х называется точкой минимума (точкой максимума) функции f(x), если в некоторой окрестности Оδ(х0) Х точки х0 выполняется неравенство f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0)) при всех х Оδ(х0), х ≠ х0.
2. Значение функции f(x0) называется минимумом (максимумом) функции f(x).
3. Минимум или максимум функции называется экстремумом этой функции, а точка, в которой это значение принимается, называется точкой экстремума функции.
Экстремум является локальной характеристикой функции f(x), поскольку представляет ее поведение лишь в окрестности точки х0.
Рассмотрим график некоторой функции у = f(x) (рис. 4.3).
Для данной функции точки х1 и х3 есть точки максимума, а точка х2 – точка минимума.
Теорема 4.8. (о необходимом условии экстремума)
Если функция f(x) дифференцируема в точке экстремума х0, то f'(x0) = 0.
Следствие
Если точка х0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f'(x0) = 0, либо f'(x0) не существует.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются точками, подозрительными на экстремум.
Теорема 4.9 (о достаточном условии экстремума).
Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 за исключением возможно самой точки x0, а в самой точке x0 функция f(x) непрерывна, тогда:
1) если при переходе через точку x0 производная f'(x) меняет знак с «-» на «+», то точка x0 является точкой минимума функции f(x);
2) если при переходе через точку x0 производная f'(x) меняет знак с «+» на
«-», то точка x0 является точкой максимума функции f(x);
Пример 4.6.
Функция f(x)= не имеет производной в точке х0 (см. пример 3.3).
Тем не менее, при переходе через эту точку производная меняет знак с « - » на «+», следовательно, точка х0 = 0 является точкой минимума данной функции (рис.4.4).
|
Пример 4.7.
Найдем точки экстремума функции f(x) = 2х + 3 .
Определим точки, подозрительные на экстремум, для чего вычислим производную f'(x) = 2 + .
Производная f'(x) обращается в нуль в точке х1 = -1 и не существует в точке х2 = 0. Следовательно, исходная функция имеет две точки, подозрительные на экстремум: х1 = -1, х2 = 0.
Составим следующую таблицу:
x | (-∞,-1) | -1 | (-1,0) | (0,+∞) | |
Знак f''(x) | + | - | не существует | + |
Как видно из таблицы, производная f'(x) меняет знак при переходе через точки х1 = -1 и х2 = 0. Согласно теореме 4.9 точка х1 = -1 является точкой максимума, а точка х2 = 0 есть точка минимума.
|