Возрастание и убывание функции

Теорема 4.6. (о необходимом условии монотонности функции).

Если дифференцируемая на промежутке Х функция f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке, то f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0) при всех х Возрастание и убывание функции - student2.ru Х.

Теорема 4.7. (о достаточном условии монотонности функции).

Если функция f(x) дифференцируема на промежутке Х и f′(x) > 0 (f′(x) < 0)

при всех х Возрастание и убывание функции - student2.ru Х, кроме возможно конечного числа точек, где f′(x) = 0, то эта функция возрастает (убывает) на Х.

Пример 4.5.

Найдем интервалы постоянной монотонности функции f(x) = ех – х.

Вычислив производную f′(x) = ех – 1, получим, что f′(x) > 0 при х > 0 и f′(x)<0, и только в единственной точке х = 0 f′(x) = 0. По теореме 4.7 функция f(x) = ех – х возрастает на (0, +∞) и убывает на (- ∞, 0).

Экстремумы функции

Определение 4.1.

Пусть функция f(x) определена на промежутке Х.

1. Точка х0 Возрастание и убывание функции - student2.ru Х называется точкой минимума (точкой максимума) функции f(x), если в некоторой окрестности Оδ0) Возрастание и убывание функции - student2.ru Х точки х0 выполняется неравенство f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0)) при всех х Возрастание и убывание функции - student2.ru Оδ0), х ≠ х0.

2. Значение функции f(x0) называется минимумом (максимумом) функции f(x).

3. Минимум или максимум функции называется экстремумом этой функции, а точка, в которой это значение принимается, называется точкой экстремума функции.

Экстремум является локальной характеристикой функции f(x), поскольку представляет ее поведение лишь в окрестности точки х0.

Рассмотрим график некоторой функции у = f(x) (рис. 4.3).

 
  Возрастание и убывание функции - student2.ru

Для данной функции точки х1 и х3 есть точки максимума, а точка х2 – точка минимума.

Теорема 4.8. (о необходимом условии экстремума)

Если функция f(x) дифференцируема в точке экстремума х0, то f'(x0) = 0.

Следствие

Если точка х0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f'(x0) = 0, либо f'(x0) не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются точками, подозрительными на экстремум.

Теорема 4.9 (о достаточном условии экстремума).

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 за исключением возможно самой точки x0, а в самой точке x0 функция f(x) непрерывна, тогда:

1) если при переходе через точку x0 производная f'(x) меняет знак с «-» на «+», то точка x0 является точкой минимума функции f(x);

2) если при переходе через точку x0 производная f'(x) меняет знак с «+» на

«-», то точка x0 является точкой максимума функции f(x);

Пример 4.6.

Функция f(x)= Возрастание и убывание функции - student2.ru не имеет производной в точке х0 (см. пример 3.3).

Тем не менее, при переходе через эту точку производная меняет знак с « - » на «+», следовательно, точка х0 = 0 является точкой минимума данной функции (рис.4.4).

       
  Возрастание и убывание функции - student2.ru
 
   
Рис. 4.4.

Пример 4.7.

Найдем точки экстремума функции f(x) = 2х + 3 Возрастание и убывание функции - student2.ru .

Определим точки, подозрительные на экстремум, для чего вычислим производную f'(x) = 2 + Возрастание и убывание функции - student2.ru .

Производная f'(x) обращается в нуль в точке х1 = -1 и не существует в точке х2 = 0. Следовательно, исходная функция имеет две точки, подозрительные на экстремум: х1 = -1, х2 = 0.

Составим следующую таблицу:

x (-∞,-1) -1 (-1,0) (0,+∞)
Знак f''(x) + - не существует +

Как видно из таблицы, производная f'(x) меняет знак при переходе через точки х1 = -1 и х2 = 0. Согласно теореме 4.9 точка х1 = -1 является точкой максимума, а точка х2 = 0 есть точка минимума.

y
Из равенства f'(-1) = 0 следует, что касательная к графику функции в точке М(-1;1) параллельна оси Ох, а поскольку Возрастание и убывание функции - student2.ru , то в точке О(0;0) график функции имеет вертикальную касательную (рис.4.5).

 
  Возрастание и убывание функции - student2.ru


Наши рекомендации