Собственные значения и собственные векторы матрицы

Будем рассматривать квадратные матрицы размером п х п, или, что то же самое, матрицы порядка п.

При умножении матрицы порядка п на n-мерный вектор в произведении получается n-мерный вектор:

Для любой матрицы может существовать набор особых векторов, таких, что произведение матрицы на вектор из та­кого набора равносильно умножению этого вектора на опреде­ленное вещественное число (вообще говоря разное для каждого вектора).

Определение 4. Число λ называется собственным значени­ем матрицы А порядка п, если существует такой ненулевой вектор Rⁿ, что выполняется равенство

При этом вектор называется собственным вектором матрицы А, а λ — собственным значением матрицы А, соответствую­щим вектору .

Иными словами, умножение матрицы на ее собственный вектор равносильно удлинению этого вектора в |λ| раз, если |λ| > 1 (или сжатию при |λ| < 1). Если λ = 1, умножение мат­рицы на соответствующий собственный вектор не меняет его. Уравнение (13.5) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, перепишем его в более удобном виде:

где Е и — соответственно единичная матрица и нулевой век­тор.

Если a_ij — элементы матрицы А, то характеристическая матрица А — λЕ, согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц, имеет вид

Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела ал­гебры; в дальнейшем мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный результат алгебры матриц: для симметрических матриц (13.2) все п собственных значений яв­ляются действительными числами.

Обратная матрица

Ранг матрицы

Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векто­ров (или из п m-мерных векторов). Поскольку любая систе­ма векторов характеризуется рангом (п. 12.2), то естественно встает вопрос о такой же характеристике и для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности векторов — векторы-строки и векторы-столбцы, то у матрицы, вообще говоря, два ранга — строчный и столбцовый. Ответ на вопрос об их рав­ноправии дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Стало быть, ранг любой матрицы размера т х п можно ис­кать как ранг одной из двух систем векторов: либо т векторов-строк, либо п векторов-столбцов. Как следует из п. 12.2, для прямоугольной матрицы максимальный ранг r = min (m, n). Для квадратной матрицы размером п х n ее максимальный ранг не может превышать п: r ≤ п.

Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицами порядка п.

Определение 1. Матрица порядка п называется вырожден­ной, если ее ранг r < п.

Определение 2. Матрица А^-1 называется обратной по отно­шению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ранг r < п, то для нее не существует обратной матрицы.

УПРАЖНЕНИЯ

13.1. Найти матрицу С = 2А - В, где

13.2. Даны следующие матрицы:

Найти: а) все произведения матриц, которые имеют смысл; б) соответствующие транспонированные матрицы; в) матрицу 2G – С²,г) матрицу С³.

13.3. Дана матрица . Проверить непосредствен­ным вычислением, какие из данных ниже векторов являют­ся собственными векторами этой матрицы, и указать соответ­ствующие собственные значения:

Глава 14. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ