Метод вращений Якоби численного р ешения задач на собственные значения и собственные векторы матриц
Вычисление собственных значений и собственных векторов
Собственным вектором линейного преобразования 
называется такой ненулевой вектор 
, что для некоторого 
(1)
Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение 
имеет ненулевое решение .
Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный 
, а соответствующий скаляр 
называется собственным значением оператора.
Классический способ нахождения собственных значений и собственных векторов известен и заключается в следующем: для однородной СЛАУ, полученной из (1)
(A−λE)x =0 (2)
ненулевые решения имеют место при
det(A−λE) = 0 (3)
причем уравнение (3) называют характеристическим уравнением, а выражение в левой части - характеристическим многочленом.
Каким-либо способом находят решения λ1, λ2,…, λn алгебраического уравнения (3) n-й степени (предположим, что они вещественны и различны).
Решая однородную СЛАУ (3) для различных собственных значений λj где j =1,…,n ,
(A −λj E) xj=0, j =1,…,n.
получаем линейно независимые собственные векторы , xj соответствующие собственным значениям λj.
Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы.
Метод вращений Якоби численного р ешения задач на собственные значения и собственные векторы матриц
Метод вращений Якоби применим только для симметрических матриц A nxn (A = AT ) и решает полную проблему собственных значений и собственных векторов таких матриц. Он основан на отыскании с помощью итерационных процедур матрицы U в преобразовании подобия Λ= U-1AU, а поскольку для симметрических матриц A матрица преобразования подобия U является ортогональной (U-1=UT ), то Λ =UTAU, где Λ - диагональная матрица с собственными значениями на главной диагонали
.
Пусть дана симметрическая матрица A. Требуется для нее вычислить с определенной точностью 
все собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Алгоритм метода вращения следующий:
Пусть известна матрица А(k) на k–й итерации, при этом для k=0 A(0)= A.
1. Выбирается максимальный по модулю недиагональный элемент матрицы 
2. Ставится задача найти такую ортогональную матрицу U(k) , чтобы в результате преобразования подобия A(k+1)=U(k)T A(k)U(k) произошло обнуление элемента 
матрицы A(k+1).
В качестве ортогональной матрицы выбирается матрица вращения, имеющая следующий вид:
В матрице вращения на пересечении i-й строки и j-го столбца находится элемент
, где 
- угол вращения, подлежащий определению.
Симметрично относительно главной диагонали ( j-я строка, i-й столбец) расположен элемент 
Диагональные элементы 
и 
равны соответственно 
, 
; другие диагональные элементы 
, 
; остальные элементы в матрице вращения равны нулю.
Угол вращения 
определяется из условия 
:
,
причем если 
то 
.
3. Строится матрица 
в которой элемент 
.
В качестве критерия окончания итерационного процесса используется условие малости суммы квадратов внедиагональных элементов:
Если 
, то итерационный процесс 
продолжается.
Если 
, то итерационный процесс останавливается, и в качестве искомых собственных значений принимаются 
Координатными столбцами собственных векторов матрицы A в единичном
базисе будут столбцы матрицы 
т.е. ,
), 
), 
) ,
причем эти собственные векторы будут ортогональны между собой, т.е.
Задание: Вычислить собственные значения и собственные векторы для симметричной матрицы.
