Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента
Основная задача квантовой теории момента заключается в определении общих собственных векторов и собственных значений проекции и квадрата момента. Из одновременной измеримости и следует, что соответствующие операторы этих величин имеют общую систему собственных функций :
(20.1)
(20.2)
Рассмотрим некоторые свойства оператора момента количества движения.
Свойство 1: При фиксированном значении квадрата момента количества движения проекция момента принимает значения из интервала:
(20.3)
Доказательство: Для доказательства этого свойства воспользуемся определением:
.
Подействуем оператором квадрата момента на вектор состояния :
Умножая последнее выражение на и интегрируя по всей области изменения переменных получим:
Тогда, учитывая, что средние значения не отрицательны, приходим к выводу:
т.е. максимальная проекция момента не превосходит длины вектора момента количества движения:
что и требовалось доказать.
Свойство 2: Если - собственный вектор оператора квадрата момента с собственным значением , то и также собственные вектора оператора квадрата момента с тем же собственным значением ,т.е.
, (20.4)
(20.5)
Доказательство: Подействуем оператором на вектор состояния и воспользуемся свойством (19.4):
,
Аналогично проводится доказательство для вектора .
Таким образом, из коммутируемости операторов проекций и с оператором квадрата момента импульса следует, что их действие на вектор состояния не меняет .
Вместо операторов удобно перейти к их комплексным комбинациям:
(20.6)
(20.7)
Выразим имеющиеся соотношения через введенные комплексные операторы. Для этого найдем коммутатор :
Для дальнейших вычислений воспользуемся свойством коммутатора:
Тогда:
(20.8)
Можно показать, что
(20.9)
Аналогично проводятся вычисления для :
(20.10)
. (20.11)
(20.12)
Откуда, учитывая определение квадрата момента следует, что
(20.13)
или
(20.14)
Для решения задачи о нахождении спектра собственных значений операторов и рассмотрим несколько вспомогательных теорем.
Лемма 1: Если - собственный вектор оператора с собственным значением , то вектор тоже собственный вектор оператора с собственным значением , т.е.
Доказательство: Подействуем оператором на вектор . С учетом равенств (20.9) и (20.1) получаем:
Что и требовалось доказать.
Лемма 2: Если - собственный вектор оператора с собственным значением , то тоже есть собственный вектор с собственным значением , т.е.
Доказательство проводится аналогично с учетом формул (20.11) и (20.1).
Из рассмотренных вспомогательных лемм в дальнейшем нам понадобятся два следствия:
1) (20.15)
2) (20.16)
где - некоторые постоянные.
Данные леммы и их следствия дают ответ на вопрос о спектре собственных значений проекции момента, если нам известно хотя бы одно значение. Согласно леммам 1 и 2 собственные значения проекции момента количества движения , которым принадлежат собственные функции , отличаются на единицу и находятся, согласно доказанной теореме, в интервале . Таким образом, при фиксированном значении значения m ограничены сверху и снизу. Пусть и соответственно наименьшее и наибольшее значения при заданном , т.е. . Тогда
(20.17)
(20.18)
С учетом равенств (20.17), (20.14) и (20.18), (20.1) можно записать
Откуда
Так как по условию , то , откуда
(20.19)
Определим значения постоянных и в выражениях (20.15), (20.16). Для этого применим условие нормировки
.
С другой стороны,
Сравнивая полученные выражения, делаем вывод, что
, (20.20)
. (20.21)
Согласно (20.15), (20.16), (20.20), (20.21):
(20.22)
(20.23)