Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)

Вектор Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ¹ Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru называется собственным вектором линейного оператора Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (матрицы Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ), если выполняется равенство:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ( Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ) = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (1)

Следовательно, Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru , (т. е. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru отображается на коллинеарный вектор Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ).

Число l называется собственным значением линейного оператора.

Запишем равенство (1) в матричном виде:

A·X = l·X; Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru A·X ‒l·X = 0,

т. е.

(A ‒ l · E) · X = 0 (2)

– характеристическое уравнение.

Запишем матричное уравнение (2) в виде однородной системы линейных уравнений:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Эта система имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю, т.е.

│A –l·E │= 0 или Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru = 0 (3)

Левая часть уравнения (3) является многочленом n‒ степени относительно l.

Количество корней уравнения (3) равняется количеству собственных значений l оператора A, а, значит, и количеству собственных векторов этого оператора.

Пример:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Найти: собственные значения и собственные векторы этого оператора.

Решение:

Составим характеристический многочлен.

│A – l·E │=

= Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru . – собственные значения оператора A.

1) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru при Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ;

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ;

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Пусть Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru , тогда Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru – первый собственный вектор оператора A.

2) при Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ;

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ;

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Пусть Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru , тогда Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Квадратичные формы.

Пусть L = ( Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ) ‒ симметричная матрица n‒ го порядка, т.е. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Определение. Выражение

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

называется квадратичной формой переменных x1, x2, …, xn.

Выра­жение (1) есть сумма всех квадратов переменных плюс сумма всех удвоенных произведений разных переменных, причем каждый член суммы взят с некоторым коэффициентом. Матрица L назы­вается матрицей квадратичной формы.

Построим квадратичную форму. Введем матрицу ‒ столбец переменных

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

матрицу ‒ строку этих переменных Xm = (x1, x2, …, xn) и найдем произведение матриц:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

После перемножения получим

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Следовательно, в матричной форме квадратичная форма может быть представлена в виде

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru = XT ·L ·X .

Матрице ‒ столбцу переменных можно поставить в соответствие вектор х, координатами которого в ортобазисе e1, е2, …, еn, будут элементы матрицы ‒ столбца. Тогда выражение (1) можно интерпретировать как числовую функцию векторного аргумента х: Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (х).

Пример: Найти матрицу квадратичной формы

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (x)= ‒ Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru +6 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ‒ 3 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru +4 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru + Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ‒3 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Решение: Общий вид заданной квадратичной формы

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (x)= Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru + Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru + Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru + Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru + Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru + Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

Поэтому

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Пусть оператор Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru переводит вектор Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru в вектор Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru . Поскольку действие линейного оператора Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru на вектор Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru сводится к умножению некоторой матрицы P = ( Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ) на матрицу ‒ столбец Y, составленную из координат вектора Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru , запишем линейное преобразование в матричном виде:

Х = P· Y.

Выясним, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов х → у:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (x) = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru где Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Пусть дополнительно выполняется условие невырожденности матрицы оператора | Р| ¹ 0 и квадратичная форма является числовой функцией вектора Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru : Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (y) = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Найдем, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов у → х. Решим матричное уравнение

Х = P · Y,

умножив обе части равенства слева на Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Тогда

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (y) = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru

где Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Пример: Как изменится матрица квадратичной формы

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (x) = ‒ Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru + 2 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru + 3 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru при линейном преобразовании векторов

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Решение:Матрица заданной квадратичной формы равна

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru матрица линейного оператора Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru при линейном преобразовании векторов х = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (у) имеет вид Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Под действием линейного оператора матрица квадратичной формы станет равной Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru ,

а квадратичная форма примет более простой вид:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru (y) = Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) - student2.ru .

Наши рекомендации