Рациональная функция от sin х и cos х
Рассмотрим интеграл вида
где R — рациональная функция. Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой
Действительно,
Подстановка формул (6.5) в интеграл (6.4) дает
где R1(t) — другая рациональная функция аргумента t. Рассмотрим примеры вычисления интегралов, содержащих рациональные функции от sin x и cos x.
Решение. Подставляя сюда формулы (6.5), после очевидных упрощений получаем
Пример 12. dx, т и п — натуральные числа.
Решение. Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной. В зависимости от четности m и п употребимы три следующих варианта.
1) m — четное, n — нечетное, подстановка t = sin x.
2) т — нечетное, n — четное; подстановка t = cos x.
3) m и n — оба нечетные; любая из двух подстановок 1 или 2.
4) m и п — оба четные; понизить степени тригонометрических функций и в полученной сумме проверить каждое слагаемое по пп. 1-3.
Например, найти интеграл dx.
Согласно п. 2 выполним подстановку t = cos x; тогда dt = - sin x dx, sin4 x = (1 — t2)2; отсюда имеем
Рациональная функция от еx
Интеграл вида
рационализируется подстановкой
Пример 13. Найти интеграл . Применяя подстановку (6.6), получим
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить интегралы методом непосредственного интегрирования.
Вычислить интегралы методом подстановки.
Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.
Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Условия существования определенного интеграла
Определение определенного интеграла
Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками:
Выберем в каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] произвольную точку ξi:
Теперь образуем сумму произведений:
которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины σ указан на рис. 7.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi) (i = 1, 2, ..., п).
Введем еще одну величину. Обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения:
Определение. Конечный предел I интегральной суммы σ при λ → 0, если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b]:
Определенный интеграл обозначается символом
Если определенный интеграл (7.2) существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.
Величина определенного интеграла, согласно данному выше определению, однозначно определяется видом функции f(x) и числами а и b. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.