Рациональная функция от sin х и cos х

Рассмотрим интеграл вида

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

где R — рациональная функция. Этот интеграл рационализи­руется универсальной подстановкой

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Действительно,

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Подстановка формул (6.5) в интеграл (6.4) дает

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

где R1(t) — другая рациональная функция аргумента t. Рас­смотрим примеры вычисления интегралов, содержащих рацио­нальные функции от sin x и cos x.

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Решение. Подставляя сюда формулы (6.5), после очевид­ных упрощений получаем

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Пример 12. Рациональная функция от sin х и cos х - student2.rudx, т и п — натуральные числа.

Решение. Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод за­мены переменной. В зависимости от четности m и п употреби­мы три следующих варианта.

1) m — четное, n — нечетное, подстановка t = sin x.

2) т — нечетное, n — четное; подстановка t = cos x.

3) m и n — оба нечетные; любая из двух подстановок 1 или 2.

4) m и п — оба четные; понизить степени тригонометри­ческих функций и в полученной сумме проверить каждое сла­гаемое по пп. 1-3.

Например, найти интеграл Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru dx.

Согласно п. 2 выполним подстановку t = cos x; тогда dt = - sin x dx, sin4 x = (1 — t2)2; отсюда имеем

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Рациональная функция от еx

Интеграл вида

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

рационализируется подстановкой

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Пример 13. Найти интеграл Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru . Применяя подстановку (6.6), получим

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить интегралы методом непосредственного интегриро­вания.

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Вычислить интегралы методом подстановки.

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Условия существования определенного интеграла

Определение определенного интеграла

Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем от­резок [а, b] на п произвольных частей точками:

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Выберем в каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] произволь­ную точку ξi:

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Теперь образуем сумму произведений:

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины σ ука­зан на рис. 7.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi) (i = 1, 2, ..., п).

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Введем еще одну величину. Обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения:

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Определение. Конечный предел I интегральной суммы σ при λ → 0, если он существует, называется определенным интег­ралом от функции f(x) по отрезку [а, b]:

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Определенный интеграл обозначается символом

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Если определенный интеграл (7.2) существует, то функ­ция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегри­рования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.

Величина определенного интеграла, согласно данному вы­ше определению, однозначно определяется видом функции f(x) и числами а и b. Определенный интеграл не зависит от обозна­чения переменной интегрирования, т.е.

Рациональная функция от sin х и cos х - student2.ru

Наши рекомендации