Дифференцирование сложной функции

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t₀, а функция у = f(x) имеет производную в соответ­ствующей точке x₀ = φ(t₀). Тогда сложная функция f[φ(t)] имеет производную в точке t₀ u справедлива следующая фор­мула:

В теореме 4.3 рассмотрена суперпозиция двух функций, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость с двумя и более промежуточны­ми переменными, однако правило дифференцирования сложной функции остается тем же. Например, если у = у(х), х = φ(и), и = ψ(t), то производная y'(t) вычисляется по формуле

Рассмотрим несколько примеров на дифференцирование сложной функции.

Пример 1. Найти производную функции у = tg (x³).

Решение. Эту функцию можно представить через проме­жуточную переменную и как y = tg u, и = х³. Тогда по фор­муле (4.7) имеем

Пример 2. Найти производную функции у = .

Решение. Здесь функция представляется с помощью трех промежуточных переменных: у = е^u, и = v², v = tg w, w = 4x. Применяя правило (4.7) дифференцирования сложной функ­ции, последовательно получаем

Пример 3. Найти угол наклона к оси Оx касательной к гра­фику функции

Решение. Данная функция является суммой двух сложных функций, представляемых через промежуточные переменные как

Применяя правила дифференцирования суммы функций и сложных функций, получаем

Поскольку тангенс угла наклона касательной к оси Ох при х = 0 равен значению производной в этой точке, из последнего равенства получаем, подставляя в него х = 0:

откуда φ = arctg 1 = 45°.

4.6. Понятие производной n-го порядка

Производная f'(x) функции f(x) сама является функцией аргумента х, и по отношению к ней также можно ставить во­прос о производной. Производная от первой производной некоторой функции у = f(x) называется второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производ­ная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно про­должить. Производные начиная со второй называются произ­водными высших порядков. Для их обозначения используют символы: у", у'", у⁽⁴⁾, у⁽⁵⁾, ..., у⁽ⁿ⁾ (для второй и третьей производных соответственно еще и у⁽²⁾ и у⁽³⁾) или вместо у пишут f(x): f"(x), f"(х), ..., f⁽ⁿ⁾(x).

Производная n-го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (n — 1)-го порядка: y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))'

Рассмотрим несколько примеров на вычисление производ­ных высших порядков.

Пример 1. Найти производную второго порядка от функции у = х³ + 2х.

Решение. Последовательно находим первую производную, а затем и производную от нее:

Пример 2. Найти производную второго порядка от функции .

Решение. Сначала находим первую производную сложной функции:

Затем ищем вторую производную, дифференцируя полученное произведение функций:

Пример 3. Найти производную третьего порядка от функции у = х In х.

Решение. Последовательно находим

Пример 4. Найти производную n-го порядка от функции y = e^2x.

Решение: Находим

т.е. каждое дифференцирование прибавляет к исходной функ­ции сомножитель 2. Отсюда получаем

В заключение укажем формулы для вычисления производ­ных n-го порядка для функций sin х и cos х. Нетрудно убедить­ся, что

УПРАЖНЕНИЯ

Найти производные следующих функций.

4.1.у = x³ + 3x² – 2x +1.4.2. у = 5x⁷ + 3x³ – 4x - 1. 4.3.у = + .

4.4. y = 4.5. y =

4.6. у = 3x⁵ + 2 sin x + 5 tg x. 4.7. у = 4.8. у = log₂ х — 3 log₃ x. 4.9. у = 3e^x + arctg х — arcsin x.

4.10. y = 5^x + 6^x + .4.11. у = x²tg x. 4.12. у=

4.13. у = + x arccos x.4.14. у = х²log₃ х - e^x tg x.

4.15.у = . 4.16. у = + x tg x. 4.17. y = .

4.18. y = . 4.19. y = . 4.20. y = .

4.21. y = x² - , нaйти f'(2) - f(-2)

4.22. у = x ln x, найти f'(1), f'(e), f'(1/e), f'(1/e²).

4.23. у = sin 4x.4.24. у = cos (x² – 2x + 1).4.25. у = sin² х. 4.26. у = . 4.27. у = tg³ х.4.28. у = ln (x² + ).

4.29. у = arctg .4.30. у = ln ln x. 4.31. y = arcsin .

4.32. у = arctg² . 4.33. у = e^sinx.4.34. у = ln²sin x.

4.35. у = x^х.4.36. у = x^cosx.

Составить уравнения касательных к графикам следующих функций.

4.37. у = x² в точке М (1, 1).4.38. у = ln х в точке М (1, 0).

4.39. у = е^2x в точке пересечения с осью Оу.

4.40. Найти угол наклона к оси Ох касательнойк гиперболеу = 1 / х в точке (1, 1).

4.41. Найти приближенное приращение функций у = х², если x = 2 и Δx = 0,01.

4.42. С помощью дифференциалов найти приближенные зна­чения: а) , б) , в) , г) , д) .

Найти производные второго порядка от функций:

4.43. у = tg х.4.44. у = sin² x.4.45. у = .

4.46. у = x sin x.4.47.у =.

Найти производные третьего порядка от функций:

4.48. у = x e^-x. 4.49. у = e^x sin x.4.50. у = x ln x.

Найти производные n-го порядка от функций:

4.51. у = ln x. 4.52. у = sin 2x. 4.53. у = 3^х. 4.54. у = x² ln x. 4.55. у = х cos x. 4.56. у = x³е^x.