Глава 5. применение производных в исследовании функций

L. Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение двух функций при x a есть неопределенность вида , если

Раскрыть эту неопределенность означает вычислить предел , если он существует.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Лопиталя*). Пусть функции f(x) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестнос­ти точки а за исключением, быть может, самой точки a. Кроме того, пусть , причем g'(х) ≠ 0 в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

* Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704).

Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.

Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если f'(x) и g'(х) удовлетворяют тем же требо­ваниям, что и исходные функции f(x) и g(х).

Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда х (х ± ).

Теперь рассмотрим примеры.

Пример 1.

Здесь мы дважды последовательно применили правило Ло­питаля, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .

Пример 2.

Пример 3.

Неопределенности вида

Будем называть отношение двух функций при х а неопределенностью вида , если , - или + . В этом случае правило Лопиталя остается справед­ливым при замене условия на условие .

Пример 4.

Пример 5.

Другие виды неопределенностей

Неопределенности вида 0 ∙ и — можно свести к неопределенностям вида и . Покажем это на примерах.

Пример 6. Найти предел x ln x.

Решение. Здесь неопределенность вида 0 ∙ . Преобразуем функцию под знаком предела: х ln х = и теперь уже имеем неопределенность вида при х 0+. Теперь, применяя правило Лопиталя, получаем

Пример 7. Найти (cosec x — ctg x).

Решение. Это неопределенность вида — . Преобразуя функцию под знаком предела, получаем

Теперь это неопределенность вида при х 0. Правило Ло­питаля дает нам

Рассмотрим неопределенности вида 0⁰, 1 , ⁰, возникаю­щие при вычислении пределов функций у = и(х)^v(x). Неопреде­ленности этого вида сводятся к неопределенности вида 0 ∙ , уже рассмотренной выше, с помощью тождественного преоб­разования

Пример 8. Найти предел .

Решение. Это предел вида 0⁰; используя формулу (5.1), имеем с учетом решения шестого примера

Пример 9. Найти предел

Решение. Это предел вида 1 . Найдем предел функции у = ctg x ln(1 + x) при x 0. В соответствии с представлением (5.1) имеем следующую цепочку равенств:

Следовательно, искомый предел равен

Формула Маклорена

Разложение функций по формуле Маклорена

Одним из основных принципов математики является пред­ставление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и является реализацией этого принципа. Любые функ­ции, дифференцируемые достаточное число раз в точке х = 0, могут быть представлены в виде многочлена некоторой степе­ни. Многочлены же являются наиболее простыми элементар­ными функциями, над которыми удобно выполнять арифмети­ческие действия, вычислять значения в любой точке и т.д.

* Колин Маклорен — шотландский математик (1698 — 1746).

Итак, функцию f(x), имеющую (n + 1) производных в точке х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:

Формула (5.2) дает возможность разложить функцию f(x) по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить f(x) в виде многочлена, коэффициенты ко­торого вычисляются достаточно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений раз­личных функций; при этом погрешность вычислений оценива­ется по остаточному члену о(xⁿ).

Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена.

Пример 1. f(x) = е^x.

Решение. Поскольку (e^x)⁽ⁿ⁾ = e^х, f⁽ⁿ⁾(0) = е⁰ = 1 для любого п, формула Маклорена (5.2) имеет вид

Формула (5.3) используется для вычисления числа е с лю­бой необходимой точностью. Отсюда при х = 1 получаем при­ближенное значение числа е ≈ 2,7182818 ....

Пример 2. f(x) = sin x.

Решение. Нетрудно проверить, что f⁽ⁿ⁾(x) = sin ; отсюда имеем

Подстановка в формулу (5.3) приводит к выражению

Пример 3. f(x) = cos x.

Решение. По аналогии с функцией синуса имеем , откуда получаем

Подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению по формуле Маклорена:

Пример 4. f(x) = ln (l + х).

Решение. Так как , то f(0) = 0, ; подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению функции ln (1 +x) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

Пример 5. f(x) = (1 + x)^α, где α — вещественное число.

Решение. Производная n-го порядка имеет вид f⁽ⁿ⁾(x) = α(α - 1)( α - 2)... (α - n +1)(1 + x) ^α-n, т.е. f⁽ⁿ⁾(0) = α(α — 1)... (α - п + 1), и формула Маклорена для данной функции такова:

В частном случае, когда α = п — целое число, имеем f^{(n + l)} = 0 и формула (5.7) переходит в формулу бинома Нью­тона:

т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Мак­лорена.

Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций

Формулы (5.3)-(5.7) представляют собой асимптотичес­кие формулы (или оценки) соответственно для функций e^х, sin x, cos x, ln (l + x), (1 + x) ^α при x 0. Аналогичные раз­ложения можно получить с использованием формулы (5.2) и для других функций. Асимптотические формулы эффективно применяются при вычислении пределов функций. Покажем это на примере.

Пример 6. Найти .

Решение. Применяя формулу (5.2) при п = 2, получаем