Исследование функций с помощью производной. Построение графиков.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Доказательство.

1) Если функция f(x) возрастает, то f(x + Dx) > f(x) при Dx>0 и f(x + Dx) < f(x) при Dх<0,

тогда:

Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru

2) Пусть f¢(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2.

Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f¢(e)(x2 – x1), x1 < e < x2

По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

Теорема доказана.

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru , т.е.

Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru

Тогда

Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru

Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru

По определению:

Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru

Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x1) £ 0.

А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x1) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) = Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru

Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru

В точке х = 0 функция имеет минимум, но

В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной.

максимума, ни минимума, ни произ-водной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть Исследование функций с помощью производной. Построение графиков. - student2.ru

По теореме Лагранжа: f(x) – f(x1) = f¢(e)(x – x1), где x < e < x1.

Тогда: 1) Если х < x1, то e < x1; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x1)<0, следовательно

f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).

2) Если х > x1, то e > x1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x1)<0, следовательно

f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е. х1 – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Наши рекомендации