Функции двух переменных. Частные производные.

Функция двух переменных
Определение. Переменная Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru называется функцией двух переменных Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , если: 1) задано множество Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru пар численных значений Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ; 2) задан закон, по которому каждой паре чисел Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru из этого множества соответствует единственное численное значение. При этом переменные Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru называются аргументами или независимыми переменными. Обозначения функций двух переменных аналогичны обозначениям функций одной переменной: Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и т.д. При нахождении частного значения Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , которое она принимает при заданных значениях аргументов Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , пишут Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru или Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Определение. Множество Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции. Например, областью определения функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru является множество, для которого Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Множество Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru таких точек образует внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Графиком функции двух переменных в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность. Линией уровня функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru называется линия Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru на плоскости Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , в точках которой функция сохраняет постоянное значение Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Аналогично Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru функция трех переменных.

Частные производные

Пусть Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru -- внутренняя точка области Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , и в области Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru задана функция Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Рассмотрим ограничение функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru на прямую Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , проходящую через точку Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru параллельно оси Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Эта прямая задаётся условиями Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru при Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ; переменная Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru может при этом произвольно меняться. Поэтому для рассматриваемого ограничения Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru имеется естественная параметризация, смысл которой в том, что "замораживаются" все переменные, от которых зависит Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , кроме Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru :

Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru

Получили функцию одного переменного Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , как параметризацию ограничения с помощью параметра Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru .

Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru

Рис.7.12.

Функция Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru может иметь производную в точке Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , равную некоторому числу Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Это число называют частной производной функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru по переменной Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , вычисленной в точке Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Эта частная производная обозначается Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru или Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru .

Сразу же заметим, что значения частных производных от функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru в точке Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , вычисленные по разным переменным Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , могут быть различными, так что обозначение типа Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , без указания переменной, по которой вычислена частная производная, не имеет смысла: в обозначении обязательно нужно указывать переменную, по которой мы дифференцируем.

Итак, чтобы вычислить частную производную от функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru по некоторой переменной Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , нужно фиксировать значения всех переменных, кроме Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru (то есть временно считать их постоянными), а затем по обычным правилам вычисления производных найти производную по этой единственной переменной Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Теперь ясно, что для вычисления частных производных никаких новых правил дифференцирования вдобавок к тем, что известны нам для функций одной переменной, не потребуется, ведь при вычислении частной производной мы считаем, что может изменяться только одна переменная.

Считая точку Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , в которой вычисляется значение частной производной Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , переменной точкой области Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и предполагая, что во всех точках Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru эта производная существует, мы получаем, что частная производная Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru -- это функция, заданная в области Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru (или в её части, если производная существует не везде в Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ).

Поскольку частную производную функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru можно вычислять по каждой из Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru переменных Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , то функция Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru имеет Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru частных производных

Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru

Эти частные производные, вообще говоря, -- различные функции. Их называют также частными производными первого порядка от функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Итак, функция Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru переменных имеет Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru частных производных первого порядка.

Пример 7.11 Вычислим частные производные функции двух переменных

Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru

по каждой из переменных Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru .

Производную по Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru найдём, считая Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru переменной, а Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru постоянной величиной:

Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru

При этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных, тем, что производная от Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru (по Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ) равна Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , тем, что производная от Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru (по Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , при постоянном значении Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ) равна Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , тем, что производная от Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru (по Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ) равна 3, и, наконец, тем, что производная постоянного слагаемого Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru равняется 0.

Аналогично найдём производную по переменной Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . При этом мы считаем, что Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru -- постоянная, а меняется только Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , по которой мы и находим производную:

Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru

При этом слагаемые Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru постоянны, и их производная по Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru равна 0; в слагаемом Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru множитель Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru постоянный, и его можно вынести за знак производной, а производная от Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru равна Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ; наконец, производная от Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru равняется Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru .

В соответствии с изученным в первом семестре смыслом производной функции одного переменного (напомним, что производная Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru равна скорости изменения значений функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru в точке Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ), cмысл частной производной Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru -- это скорость изменения значений функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru при равномерном движении с единичной скоростью через точку Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru по прямой Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , параллельной оси Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru .

Геометрический смысл частной производной также становится ясен, если рассмотреть ограничение Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , полученное при фиксации значений всех переменных, кроме Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Для наглядности ограничимся случаем функции двух переменных Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . В этом случае мы можем изобразить график функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru на чертеже в виде некоторой поверхности.

Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru

Рис.7.13.

Отметим на плоскости Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru точку Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , в которой вычисляется частная производная Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , и рассмотрим сечение графика вертикальной плоскостью Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ; она проходит на плоскости Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru через прямую Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , заданную тем же уравнением Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Тогда эта плоскость высекает в поверхности графика линию, служащую графиком функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Функция Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru -- это функция одной переменной Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru , и её производная в точке Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику в точке Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . С другой стороны, Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Значит, частная производная Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru вертикальной плоскостью Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru .

Точно так же, частная производная Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru вертикальной плоскостью Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Заметим, что плоскости Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru и Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru взаимно перпендикулярны.

Если функция одного переменного имеет производную в некоторой точке, то эта функция обязательно непрерывна в этой точке; этот факт мы изучили в первом семестре. В случае нескольких переменных ( Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru ) дело обстоит не так. Даже наличия в некоторой точке Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru частных производных функции Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru по всем переменным Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru не достаточно для того, чтобы функция была непрерывной в точке Функции двух переменных. Частные производные. - student2.ru . Приведём пример такой функции двух переменных, что частные производные её сушествуют, а функция, тем не менее, разрывна.

Наши рекомендации