Действия над последовательностями

Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы обсуждали при изучении обычных функций.

Определение. Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого n > 1 верно неравенство a_n > a_{n – 1}.

Аналогично дается определение убывающей числовой последовательности.
Вместе возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.
Последовательность a₁, a₂, … можно изобразить «графиком», который будет состоять из отдельных точек координатной плоскости.

Так же, как и для обычных функций, по графику можно судить о различных свойствах последовательностей. Возрастающие и убывающие последовательности изображаются точками, лежащими на графиках монотонных функций.

Определение. Последовательность a₁, a₂, a₃, … называется ограниченной, если для ее такое число С, что неравенство |a_n| C выполняется для всех номеров n.

Если последовательность является возрастающей, то для ее ограниченности достаточно найти число С такое, что a_n C при всех n. Наоборот, для ограниченности убывающей последовательности достаточно проверить неравенство вида a_n C, которое должно выполняться для всех n. Вообще, если для всех членов последовательности выполняется неравенство a_n C (a_n C), то говорят, что она ограничена сверху (снизу). Если мы говорим об ограниченной последовательности, то ясно, что она ограничена как сверху, так и снизу.
Так же, как над произвольными функциями (заданными на одном и том же множестве), над последовательностями можно производить арифметические операции: сложение (вычитание) и умножение (деление).

Суммой двух последовательностей a₁, a₂, a₃, … и b₁, b₂, b₃, … называется последовательность c₁, c₂, c₃, …, образованная суммами соответствующих членов: c₁ = a₁ + b₁, c₂ = a₂ + b₂, c₃ = a₃ + b₃, … .

Аналогично перемножаются две последовательности: d₁ = a₁ b₁, d₂ = a₂ b₂, d₃ = a₃ b₃, … .
Если последовательность b₁, b₂, … постоянна, т. е. если b_n = b для любого n, то произведение последовательностей a₁, a₂, … и b₁, b₂, … выглядит так: ba₁, ba₂, … и называется произведением постоянного числа b на последовательность a₁, a₂, … .

Примеры
1. 1, 4, 9, 16, …, a_n = n².
Эта последовательность является возрастающей (аналогично тому, что функция y = x² возрастает при x 0). Она не является ограниченной, так как n² может стать сколь угодно большим.

2. 1,

Эта последовательность является убывающей: 1 > что аналогично убыванию функции для x > 0.

Последовательность является ограниченной: |a_n| 1. Разумеется, так как эта последовательность убывает, то каждый ее член меньше первого: a_n a₁ = 1. Важно то, что она ограничена снизу: a_n > 0.

3. a_n – n-ое десятичное приближение с недостатком к числу Эта последовательность возрастает и ограничена:
a_n <

С каждой последовательностью a₁, a₂, a₃, … можно связать две новых последовательности.

Последовательность сумм
s₁ = a₁
s₂ = a₁ + a₂
s₃ = a₁ + a₂ + a₃ и т. д.
Последовательность сумм можно определить рекуррентно:
s₁ = a₁; s_n = s_{n – 1} + a_n.

Последовательность разностей
c₁ = a₂ – a₁,
c₂ = a₃ – a₂,
c₃ = a₄ – a₃ и т. д.

Построим последовательности разностей для нескольких примеров.

1. a_n: 1, 2, 3, 4, … a_n = n
c_n: 1, 1, 1, … c_n = 1

2. a_n: 1, 3, 5, 7, … a_n = 2n – 1
c_n: 2, 2, 2, … c_n = 2

3. a_n: 1, 2, 2², 2³, … a_n = 2^{n – 1}
c_n: 1, 2, 4, … c_n = 2^{n – 1}

4. a_n: 1, 2², 3², 4², … a_n = n²
c_n: 3, 5, 7, … c_n = 2n + 1

5. a_n: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … a_n – числа Фибоначчи
c_n: 0, 1, 1, 2, 3, … c_n те же числа со сдвинутым номером

6. a_n: 1, 2³, 3³, … a_n = n³
c_n: 7, 19, 37, … c_n = (n + 1)³ – n³ = 3n² + 3n + 1

Рассматривая эти примеры, можно заметить несколько закономерностей. Если общий член последовательности записывается многочленом от n, то степень общего члена разностей будет на единицу меньшей. В примерах 1 и 2 член a_n линейно зависит от n, в примере 4 квадратично, в примере 6 – зависимость кубическая. Соответствующие последовательности разностей постоянны (степень 0), линейны или квадратичны. В последовательности 3 общий член задан показательной функцией. Общий член последовательностей разностей имеет тот же вид.
Аналогичные наблюдения можно сделать и для последовательности чисел Фибоначчи. Оказывается, что имеется общий закон – если последовательность задается как показательная функция от n, то последовательность разностей будет пропорциональна той же показательной функции.
Построение последовательности разностей и ее свойства являются дискретным аналогом вычисления производной. Аналогично суммирование последовательности аналогично другой операции математического анализа – интегрированию.

16)Предел последовательности

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.^[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.

Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.

Определение

Пусть дано топологическое пространство T и последовательность Тогда, если существует элемент такой, что

,

где U(x) — открытое множество, содержащее x, то он называется пределом последовательности x_n. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что

,

где d(x,y) — метрика, то x называется пределом x_n.

17)Предел ф-ии. Св-ва пределов

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а, также, описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Определение

Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки .

18)Замечательные пределы
Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• 
• 
• 
• 

Доказательство следствий [показать]

[править] Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x [показать]

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия

1. 
2. 
3. 
4. 
5. для ,
6. 

19)Понятие производной. таблица производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x₀) можно представить в виде

f(x₀ + h) = f(x₀) + Ah + o(h)

если существует.

[править] Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует,

[править] Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

[править] Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная функции f в точке x₀, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x₀ функции f в окрестности U(x₀) справедливо представление

при

20)Правило дифференцирования

Правила дифференцирования

При дифференцировании константу можно выносить за производную:

Правило дифференцирования суммы функций:

Правило дифференцирования разности функций:

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):

Правило дифференцирования частного функций:

Правило дифференцирования функции в степени другой функции: