Арифметические операции над числовыми последовательностями

1. Сумма последовательностей Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru и Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru - это последовательность Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , элементы которой имеют вид Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , ..., Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru .

2. Разность последовательностей Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru и Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru - это последовательность Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , элементы которой имеют вид Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , ..., Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru .

3. Произведение последовательностей Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru и Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru - это последовательность Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , элементы которой имеют вид Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , ..., Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru .

4. Частное последовательностей Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru и Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru (где Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru ≠0 при Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru ) - это последовательность Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , элементы которой имеют вид Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , ..., Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru .

Определение. Последовательность Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru называется ограниченной сверху (снизу), если Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru такое число Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , что Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru элемент Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru этой последовательности удовлетворяет неравенству Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru .

Теорема о существовании предела у монотонной и ограниченной последовательности. 'Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей, или хотя бы доказательства их существования.

Док-во: Пусть Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru - возрастающая последовательность, ограниченная собственным супремумом Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru . Тогда Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru . Действительно, с одной стороны, если найдется такое число Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , что в Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru нет элементов Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , то ( Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru ) - число, меньшее Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , но большее любого элемента Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru . Cледовательно Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru - не супремум, пришли к противоречию. Значит, Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru - предельная точка Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru . Но у возрастающей последовательности может быть лишь одна предельная точка, это ее предел. Теорема доказана.

Условные обозначения:

: - так, что

Ì – включает

Þ - следует, выполняется

Û - тогда и только тогда

" - любой

$ - существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о – малое

Арифметические действия над последовательностями/Леммы о б.м/

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru и Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru - бесконечно малые последовательности.

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru : Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru : Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru : Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru бесконечно малая, Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru - ограниченная.

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru : Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru : Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru : Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru .

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей:

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Для раскрытия неопределённостей видов Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru , Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

1. Для раскрытия неопределённостей типа Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru используется следующий алгоритм:

1.1. Выявление старшей степени переменной;

1.2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

2. Для раскрытия неопределённостей типа Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru существует следующий алгоритм:

2.1. Разложение на множители числителя и знаменателя;

2.2. Сокращение дроби.

Т. о непрерывности функции ] f непрерывна на отр. [a,b] и на концах этого отрезка принимает значение разных знаков Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru

Пусть f(a)<0 f(b)>0 Арифметические операции над числовыми последовательностями - student2.ru => a+b/2

Выберем (.) где ф-ия прим. Разные знач. Полученный отрезок разобьем и выберем четвертину чтобы выбрать разные знаки и так до бесконечности. Данный метод опр. д/ ~ нахождения корней ф-ии. Следствие: многочлен в нечетной степени им. хотя бы 1 вещественный корень.

Т. О промежуточном значении

Пусть ф-ия непрерывна на отрезки [a,b] для любого значения “С” лежащего между “A” ”B” существует С: f(c)=C (по-любому С между A и В)

Д-во Пусть A<C<B тогда φ(x):=f(x) –C ; φ: (a)= f(a) – C=A-C<0 ;

φ: (b)=f(b) – C=B-C>0

Существует C:= φ(с)=0 ; φ(c) – C=0 ; f(c)=C ч.т.д.

Наши рекомендации