Арифметические действия над числовыми последовательностями
1. Произведение на постоянное число m
m{xn}={m x xn}={mx1, mx2, mx3…mxn}
2.Сумма {xn}+{yn}={xn+yn}={x1+y1, x2+y2, xn+yn}
3.Разность {xn}-{yn}={xn-yn}={x1-y1, x2-y2,…xn-yn}
4. Частное
При условии, что yn¹0
Убывающая последовательность – это такая последовательность, у которой каждый предыдущий член больше последующего, т.е.
an+1 < an для всех n
| { | } | a1 = 1, | a2 = | , a3 = | Если an+1 - an < 0, то убывающая | |||
| n | Если an+1 - an > 0, то возрастающая |
Возрастающая последовательность – это такая последовательность, у которой каждый последующий член последовательности больше предыдущего, т.е.
an< an+1 для всех n
| 1. | { | } | т.к. | < | - убывающая | |||||||||||||||||
| n2 | (n+1)2 | n2 | ||||||||||||||||||||
| 2. | { | 3n-1 | } | an= | 3n-1 | an+1 = | 3n+2 | |||||||||||||||
| n | n | n+1 | ||||||||||||||||||||
| 3n+2 | – | 3n-1 | = | 3n2+2n-(3n-1)(n+1) | = | >0 | ||||||||||||||||
| n+1 | n | n(n+1) | n (n+1) | |||||||||||||||||||
т.е. an+1 > an - возрастающая
Предел числовой последовательности
Число a называется пределом числовой последовательности, если существует такое положительное число e, для которого выполняется условие:
ïxn-aï<e, при этом последовательность {xn} называется сходящейся.
Обозначение: lim xn = a
Или: Число a называется пределом числовой последовательности, если
при n ® ¥ xn® a
Если последовательность не имеет предела, она называется расходящейся.
Свойства сходящихся последовательностей
1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {an}= одному и тому же числу c, то c = 0.
2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел
3. Предел от суммы двух последовательностей равен сумме пределов этих последовательностей.
lim (an± bn) = lim an± lim bn
n® ¥ n® ¥ n® ¥
4. Предел произведения двух последовательностей равен произведениям этих последовательностей
lim anx bn= lim anx lim bn
n® ¥ n® ¥ n® ¥
5. Предел частности двух последовательностей равен частному от пределов двух последовательностей
| lim n® ¥ | an | = | lim an n® ¥ |
| bn | lim bn n® ¥ |
6. Предел произведения постоянной величины сна последовательность аnравен произведению постоянной величины на предел этой последовательности
lim (с an) = c x lim an
n® ¥ n® ¥
7. Предел постоянной величины равен самой этой величине.
lim c = c
n® ¥
Пример:
| lim n® ¥ | 8n - 3 | = | lim n® ¥ | 8n | - | = | lim n® ¥ | 8 - | = | lim n® ¥ | 8 - | lim n® ¥ | = | 8 - 0 | = - | ||||||
| n | n | n | n | ||||||||||||||||||
| 13 -7n | - | 7n | - 7 | lim n® ¥ | - | lim n® ¥ | 0 - 7 | ||||||||||||||
| n | n | n | n | ||||||||||||||||||
Тема 3.
Функции
Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x, соответствует одно или несколько определенных значений y.
При этом переменная x называется аргументом
Величина y зависит от величины x
Обозначение: y =¦(x) пример S=πR2
L=υt
Способы задания функций:
1. Табличный способ – функциональная зависимость записывается таблицей
2. Графический способ – состоит в изображении графика функции, т.е. множества точек (x, y) на плоскости
3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами:
a) Явный способ y = x2
b) Неявный способ xy = 5 Þ 
c) Параметрический способ x = cos t; y = sin t
Основные свойства функций
1. Четность и нечетность
Функция y = ¦(x) называется четной, если для любых значений x из области определения, ¦(-x) =¦(x) и нечетной, если ¦(-x) = –¦(x)
Четная функция симметрична относительно оси OY.
Пример: (-x) 2= x2 – функция четная; (-х) 3= –х3 – функция нечетная.
Четная функция симметрична относительно оси OY.
Нечетная функция симметрична относительно начала координат.
2. Монотонность.
Функция ¦=¦(x) называется возрастающей на промежутке x, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция ¦=¦(x) называется убывающей на промежутке x, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
3. Ограниченность.
Функция ¦(x) называется ограниченной с двух сторон на промежутке x, если существует такое положительное число M>0, для которого всегда выполняется условие:
ç ¦(x) ç £ M для любого x принадлежащего множеству x
Пример y = sin x
Ограничена на всей числовой оси, çsin xç £ 1
¦(x) £ M - ограниченная сверху
Пример: у = - х2 + 2
¦(x) ≥ m – ограниченная снизу
Пример: у = х2 + 3
4. Периодичность.
Функция ¦(x) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых x из области определения функции выполняется условие: ¦ (x + Т) =¦(x)
Пример: y = sin x имеет период Т = 2p(выполняется условие периодичности)