Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех векторов.
Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех векторов.
Вектор 
называется линейной комбинацией векторов 
, 
,…, 
, если он получен из этих векторов проведением над ними линейных операций его можно представить в виде 
, где 
, 
,…, 
− некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора 
по векторам 
, 
,…, 
.
Векторы 
, 
,…, 
являются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, 
. В противном случае (т.е. ни один из векторов 
, 
,…, 
не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являются линейно независимыми.
Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.
Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов
Для того что бы 2 не нулевых вектора были колинеларны необходимо и достаточно что бы они были линейно зависимы.
Необходимость:
Достаточность:
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов:
Для того что бы 3 не нулевых вектора были компланарными необходимо и достаточно что бы они были линейно зависимы.
Необходимость: дано: 
Очевидно если хотя бы пара из них колинеарны, следовательно они компланарны т.е. линейно зависимы
Достаточность:
Формулы деления векторов в данном отношении.
Точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если выполняется равенство 
.
Если 
, 
, 
, то
, 
, 
.
Особый интерес представляет случай, когда точка М делит отрезок АВ пополам. Тогда 
=1 и координаты середины отрезка вычисляются по формулам
, 
, 
.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов 
и 
называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними 
.
Свойства скалярного произведения:
1) 
(коммутативность);
2) 
(дистрибутивность);
3) 
, если 
или 
, или 
перпендикулярно 
;
4) 
.
Первые три свойства показывают, что скалярное умножение суммы векторов на другую сумму можно производить по обычному правилу умножения многочленов.
Найдем выражение скалярного произведения векторов 
и 
в декартовых координатах. Для этого запишем разложение векторов и 
в базисе 
, 
, 
и с учетом свойства скалярного произведения получим
Учитывая, что
получим
Таким образом,скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.
Скалярное произведение векторов используется при решении ряда задач:
1) нахождение угла между векторами 
и 
:
;
2) вычисление проекции одного вектора на направление другого вектора:
;
3) проверка перпендикулярности двух векторов:
׀ 
, т.е. 
;
4) вычисление работы постоянной силы 
вдоль прямолинейного участка пути (вектор перемещения 
):
.
Определение точки пересечения прямой и плоскости
Для нахождения точки пересечения решаем систему из трех уравнений. Если решение единственное, то оно является корд. Точки пересечения. Если решений бесконечное мно-во, то прямая принадлежит плоскости. Если решений нет, то прямая не пересекается с плоскостью.
Скрещевающиесь прямые
Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех векторов.
Вектор называется линейной комбинацией векторов , ,…, , если он получен из этих векторов проведением над ними линейных операций его можно представить в виде , где , ,…, − некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора по векторам , ,…, .
Векторы , ,…, являются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, . В противном случае (т.е. ни один из векторов , ,…, не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являются линейно независимыми.
Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.
Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.