Условие линейной зависимости трех векторов

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство необходимости условия. Дано: , где . Пусть , тогда можно записать, что или , где . Таким образом, вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. векторы компланарны, но , следовательно, компланарны и векторы .

Доказательство достаточности условия. Пусть векторы компланарны. Если среди них есть коллинеарные, то они уже линейно зависимы. Например, если , то и .

Рис. 11.

Если среди векторов нет коллинеарных, то приводим их к общему началу и строим параллелограмм с диагональю, например, совпадающим с вектором , и сторонами параллельными и (рис. 11). Тогда , откуда , где

, т.е. векторы линейно зависимы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какое выражение называется линейной комбинацией векторов?

2. Какие векторы называются линейно зависимыми и какие линейно независимыми?

3. Сформулируйте условия линейной зависимости двух векторов, трех векторов.

§3. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Теорема 1. Если векторы и линейно независимы (неколлинеарны), то любой вектор , лежащий в плоскости векторов и , единственным образом представляется в виде .

Выражение называется разложением вектора на составляющие по направлениям векторов и .

Доказательство. Дано: векторы и независимы, векторы компланарны. Так как векторы компланарны, то существуют числа такие, что и . Коэффициент , так как в противном случае получим, что векторы линейно зависимы, поэтому из последнего равенства имеем: или , где .

Докажем единственность такого разложения. Предположим, что существует два разных разложения вектора по направлениям векторов и : и . Вычитая из одного равенства другое, получим . Так как векторы и линейно независимы, то последнее равенство возможно только при и , т.е. разложение вектора по направлениям векторов и единственно.

Теорема 2. Если три вектора линейно независимы (некомпланарны), то любой четвертый вектор единственным образом представляется в виде (разложение вектора на составляющие по направлениям векторов ).

D   C A B Рис. 12.

Доказательство. Дано: Некомпланарные векторы и вектор . Все векторы приводим к общему началу и строим параллелепипед со сторонами, параллельными векторам , и с диагональю, совпадающей с вектором (рис.12). Имеем .

Так как , то существует число

, такое, что , аналогично, , откуда .

Единственность разложения доказывается аналогично плоскому случаю.

Следствие. В пространстве любые четыре вектора линейно зависимы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Докажите теоремы о разложении вектора на две, на три составляющие.

§4. ВЕКТОРНЫЙ БАЗИС, КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис трехмерного пространства; упорядоченная пара неколлинеарных векторов образует базис на плоскости.

Пусть в пространстве выбран базис: ; тогда любой вектор единственным образом можно разложить на составляющие по базисным векторам: Таким образом, базис устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами пространства и упорядоченными тройками чисел , которые называются координатами вектора в заданном базисе. Вместо записи используется так же символическая запись или .

Если базисные векторы – единичные (орты) и попарно ортогональны, то базис называется ортонормированным, а базисные векторы обозначаются . Пусть некоторый вектор имеет в этом базисе координаты , тогда или используется символическая запись .

Базисные векторы в пространстве образуют правую тройку, если поворот на наименьший угол от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора (рис. 13). В противном случае тройка векторов называется левой.

Рис. 13.

В дальнейшем используются только правые тройки.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными операциями над числами (координатами этих векторов).

РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ ПРИ ЗАДАННОМ БАЗИСЕ

Два вектора в любом базисе равны тогда и только тогда, когда равны их одноименные координаты. Это следует из взаимно однозначного соответствия между вектором и его координатами.