Базис на плоскости. Координаты вектора в данном базисе. Теорема о разложении вектора в данном базисе. Базис в пространстве.
Базисом на плоскости называется упорядоченная пара линейно независимых (т.е. неколлинеарных) векторов. Упорядоченная пара векторов означает, что указано, какой из этих векторов является первым, а какой вторым.
Любой вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом в единственном числе.
Выражение называется разложением вектора 
по базису 
. Докажем что это выражение единственное (методом от противного)
Согласно 2 определению линейной зависимости вектор 
линейно зависисмы т.е. колинеарны, а это невозможно т.к. они базисные, следовательно предположение о втором разложении не верно.
Замечание: коэффициенты 
называют координатами вектора в данном базисе.
Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка линейно независимых (т.е. некомпланарных) векторов.
Каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом единственным образом.
Это размножение так же единственно, доказывается аналогично R2
Например, 
. Здесь 
, 
, 
− базисные векторы. Коэффициенты 
, 
, 
разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе.
В трехмерном пространстве широко применяется декартова (прямоугольная) система координат Oxyz с базисными векторами 
, 
, 
. Эти векторы ортогональны (т.е. взаимно перпендикулярны) и нормированы (т.е. имеют длину равную 1). Базис 
, 
, 
поэтому называется ортонормированным. Любой вектор 
в декартовой системе координат может быть единственным образом представлен в виде 
.
Особенность декартовой системы координат в том, что коэффициенты этого разложения 
, 
, 
(т.е. координаты вектора) являются проекциями вектора 
на соответствующие оси Ox, Oy и Oz.
5.. Проекция вектора на ось, свойства. Прямоугольная система координат (…).
Проекцией вектора АВ длина отрезка А1В1взятая со знаком + если направление вектора А1В1совпадает с направление оси и с – если нет.
Длина (модуль) вектора определяется по формуле:
.
Направление вектора 
задается углами α, β, γ, образованными ими с координатными осями Ox, Oy и Oz. Косинусы этих углов (они называются направляющими косинусами вектора) определяются по формулам:
, 
, 
.
Направляющие косинусы связаны соотношением
.
Если векторы 
и 
коллинеарные и сонаправленные, то их направляющие косинусы равны:
, 
, 
.
Откуда, введя обозначение 
, получим условия коллинеарности векторов 
и 
:
.
Заметим, что если векторы и 
противоположно направлены, то в равенстве следует перед 
поставить знак минус.
Если вектор задается направленным отрезком 
, причем 
и 
, то координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора
, 
, 
,
при этом длина вектора определяется следующим образом
.
При сложении векторов в прямоугольной системе координат их координаты складываются
.
При умножении вектора на число координаты получаемого вектора умножаются на это число
.