Условия возрастание и убывание функции.

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.возрастающие, так и убывающие функции, называются монотонными. Возрастание и убывание функции y = f{x) определяется знаком ее производной: если в некотором интервале f'(x) > 0, то функция возрастает, а если f'(x)< 0, то функция убывает в этом интервале.

Первое правило нахождения экстремумов функции f(x) (по первой производной):

· Находим область определения функции D(f)•

· Ищем первую производную функции f '(x).

· Находим критические точки первой производной.

· Определяем знак производной f '(x).слева и справа от критической точки, в которой функция непрерывна. Если знак изменяется с плюса на минус, то в данной точке функция имеет максимум, если с минуса на плюс, то - минимум. Если же знак производной не изменяется, то в данной точке экстремума нет.

Второе правило нахождения точек экстремума (по второй производной):

· Находим область определения функции D(f).

· Ищем первую производную функции f '(x)

· Находим точки, в которых f '(x) = 0, а функция f(х) непрерывна.

· Ищем вторую производную f "(x)

· Во вторую производную f "(x) подставляем каждое из значений, полученных в п. 3. Если f "(х_о)>0; то в точке х₀ функция имеет минимум, если f "(х_о)<0, то - максимум. Если f ”(х_о) = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым (можно воспользоваться первым правилом).

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Кривая называется выпуклом (вогнутой) в некотором промежутке , если она расположена ниже (выше) касательной , проведенной к кривой в любой точке этого промежутка . Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции у = f(x).Характеризуется знаком второй производной f“(x) > 0 , а именно: если в некотором промежутке f “(х)>О, то кривая вогнута, если f “(х)<0, то кривая выпуклав этом промежутке.Следовательно, нахождение промежутков выпуклости и вогнутости график функции у=… сводится к нахождению промежутковзнакопостоянства ее второй производной f ‘’(х).

Точкой перегиба кривой называется такая ее точка , которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.

Точками перегиба графика функции y = f(х) могут быть только точки, в которых вторая производная изменяет свой знак.т.е. точки, находящиеся внутри области определения функцииf(x)в которых вторая производнаяf ‘’(х) обращается в нуль или терпит разрыв. Такие точки называются критическими точками второй производной.

Точками перегиба графика функцииу= f(х) будут лишь те критические точки второй производной, при переходе через которые f ‘’(x)меняет знак.

Отсюда полу чаем правило нахождения промежутков выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции:

1)Находим область определении функцииD(f).

2) Ищем 2-ую производную функцииff (x).

3) Определяем точки, вкоторых вторая производная f ‘’(x)оброщается в нуль или терпитразрыв (критические точки 2-ой производной)|4)Находим промежутки, на которые разбивают области определенияD(f) критические точки.5)Определяем знак f ‘’(x) на каждом из полученных промежутков: если f‘’(x)> о, то это промежуток вогнутости; если жеf’’(x)< О, то это промежуток выпуклости.

6)Те из граничных точек промежутков, в которых функции f(x) непрерывна, а вторая производная f’’(x) изменяет свой знак при переходе через них, являются точками перегиба:

При нахождении интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба удобно результаты исследования записывать и таблицу изменения знаков второй производной.

Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая , к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая X=a является вертикальной асимптотой графики функции y=f(x) , если , по крайней мере , один из односторонних пределов в точке .x=a равен бесконечности т.е.

Условия возрастание и убывание функции. - student2.ru или