Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Задача интегрального исчисления – восстановление ф. по известным ее производным. F(x) наз. первообразной ф. к функции f(x) на нек. числовом промежутке I если ф. F(x) дифференцируема на I и в каж. точке этого промежутка производная ф. F(x) равна значению ф. f(x). F(x)= f(x) для всех хЄ I.Например ф. F(x)=cosx явл. первообразной к ф. f(x)=-sinx на всей числовой прямой R, т.к. производная cosx это –sinx. Первообразная ф. –sinx будут cosx-3; cosx+5 и т.д. В общем случае cosx+C. Теорема1:2е дифф-мые на числовом промежутке I ф. F(x) и Ф(х) явл. первообразными одной и той же ф. тогда и только тогда, когда они отличаются на постоянной, т.е. Ф(х)=F(X)+C, C=const. Из этой теоремы следует, что для нахождения первообразной ф. f(x) на числовом промежутке I достаточно:1.Найти первообразную F(x) на промежутке I.2.Семейство всех первообразных задается формулой: F(x)+C. Неопределенный интег. от ф. f(x) на числовом промежутке I наз. совокуп. ее всех пнрвообр. на этом числовом промежутке и обозначается ∫f(x)dx. ∫знак интеграла, f(x) – подинтегральная ф., f(x)dx – подинтегральное выражение, х – переменная интегрирования. Если F(x) – какая-либо первообр. к ф. f(x) на числовом промежутке I, то ∫f(x)dx=F(x)+C, для всех х ?I. С геометрической точки зрения неопределенный интег. представляет собой семейство плоских прямых(интег. прямых), смещ. относительно друга вдоль оси ординат в прямой декартовой системе координат Оху.

48. Понятие определенного интеграла и его геометр. Смысл.

Рассмотр. Ф-ию у= f(х), заданную на отрезке[а.в], а<в(см. рис. 1).Отрезок [а.в] точками:

а=х₀<x₁<…<x_n_-1<x_n =в. Разобьем на n- элементарных отрезков [a;x₁], [x₁;x₂],[ x_n_-1;в], длины которых обозначаются через ⌂х_i , т.е. ⌂х_i = х_i-х_i_-1. В каждом из элементарных отрезков [х_i_-1; х_i] возмем произведение точки С_i, значение ф-ии f(C_i)* ⌂х_i( длина отрезка), получим произведение: f(C_i)* ⌂х_iСоставим сумму таких произведенй: S_n= Первообразная функция и неопределенный интеграл. - student2.ru (1)

Сумма (1) наз-ся интегральной суммой Римена ф-ии у= f(х) на отрезке[а.в]. Обозначим через ג- длину наиб. Из отрезка[х_i_-1; х_i], т. е. ג = Первообразная функция и неопределенный интеграл. - student2.ru .Определ. интеграл ф-ии у= f(х) на отрезке[а.в] наз-ся конечный предел ее интегральной суммы, когда число отрезка в разбиении не ограничивает возрастания, а длина наиб. Стремится к 0. Первообразная функция и неопределенный интеграл. - student2.ru При этом числа а и в наз-ся нижн. И верх. Пределами интегрирования, отрезок [а.в]- промежуток интегрирования f(х)- подынтегральная ф-ии. Ф-ия f(х) для котор. на отрезке[а.в] сущ. Интеграл наз-ся интегрируемой на этом отрезке. Необходимым усл. интегрированности ф-ии у= f(х) на отрезке[а.в] явл. Ее ограниченность на этом отрезке. Справедливо утверждение :1)если Ф-ия f(х) интегрируема на отрезке[а.в], то она интегрируема и на любом отр.[c;d] , содержащемся в [а.в]; 2) если Ф-ия f(х) непрерывна на отрезке[а.в] или имеет конечное число точек разрыва на этом отрезке , то она интегрируема на отрезке[а.в]. Геометр. Смысл определ. Интеграла. Определ. Интеграл от непрерывной на отрезке[а.в] ф-ии у= f(х), есть S (площадь ) криволенейной трапеции ( с учетом знака ф-ии) , огранич. графиком Ф-ии f(х), осью ОХ и отрезками прямых х= а ,х=в, т.е.