Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:F¢(x) = f(x).

первообразных для одной и той же функции м.б. бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл. Неопред.интеграломф-ии f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Ус-ем сущ-я неопред.интеграла на некотором отрезке явл-ся непрерывность ф-ии на этом отрезке.

Св-ва: 1.) 2.) 3)

4. ) где u, v, w – некоторые функции от х, 5)

Таблица неопред.интегр.:

=

=

=

=ln

=

= e^x + C

=sinx + C

= -cosx + C

= tgx + C

= -ctgx + C

= arcsin + C

=

Неопределенный интеграл и его св-ва.

Неопред.интеграломф-ии f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Ус-ем сущ-я неопред.интеграла на некотором отрезке явл-ся непрерывность ф-ии на этом отрезке.

Св-ва: 1.) 2.) 3)

4.) где u, v, w – некоторые функции от х. 5)

Таблица неопред.интегр.:

=

=

=

=ln

=

= e^x + C

=sinx + C

= -cosx + C

= tgx + C

= -ctgx + C

= arcsin + C

=

39. Интегралы от основных элементарных функций

значения неопределенных интегралов большинства элементарных ф-ий: =

=

=

=ln

=

= e^x + C

=sinx + C

= -cosx + C

= tgx + C

= -ctgx + C

= arcsin + C

=

Метод замены переменных.

Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Интегрирование по частям.

Способ основан на формуле производной произведения:(uv)¢ = u¢v + v¢u, где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: ,

Формула интегрир-я по частям: или

Пример.

Определенный интеграл.

Определенным интегралом от ф-и на наз-тся конечный предел её интегральной суммы, когда число элемент. отрезков неограниченно возрастает, а длина наиб. из них стремится к нулю. Обозначается:

Число a называется нижним пределом интегрирования, b- верхним пределом интегрирования, f(x)- подинтегральной ф-ей, х-переменной интегрирования.

По определению

(1)

след-но величина определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования, т.е.

Ф-я, для к-рой существует предел (1) наз-тся интегрированием на .

Геом. смысл определенного интеграла состоит в том, что =S криволин. трапеции, ограниченной сверху графиком ф-и (f(x)≥0), снизу осью Ох, слева и справа- прямыми х=а и х=в.

43. Св-ва опред. интеграла:

1)

2)при перестановке пределов интегрирования, знак определенного интеграла меняется на противоположный

3)если и интегрируемы на ф-и, тогда ± также интегрируемы. Причем

4)св-во аддитивности. Пусть разбит на элементарных отрезков след. образом , тогда

5)постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

6)если интегрируема на (a<b), причем f(x)≥0, тогда

7)пусть ф-и f(x) и g(x) интегрируемы на (a<b) и на всем отрезке f(x) ≤ g(x). Тогда

8)пусть ф-я f(x) интегрируема на (a<b), тогда также интегрируема на , причем

Т. (об оценке опред. интеграла). Если ф-я интегрируема на (a<b) и для всех вып-тся нерав-во , тогда

Т. (о среднем значении) Если ф-я непрерывна на , то на этом отрезке существует точка с, такая что

44. ф-ла Ньютона-Лейбница. Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказ-во: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может им.бесконечно много первообразных, кот. будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.