Определение определенного интеграла. Геометрическая интерпритация определенного интеграла.
Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке ав. Разобьем отрехок ав произвольным образом на n частей, точками a=x0<x1<x2<…<xn=b.
∆i=xi-xi-1 ∆i- длина отрезка – (xi;xi-1)
[xi;xi-1] принадлежит ξi, i=1,2,…,n
Предположим, что существует предел конечный Sn, при условии, что n стремится к бесконечности, а максимальная длина стремится к 0.
Limn-∞Sn= Limn-∞∑f(ξi)∆i=⌠f(x)dx
, тогда он называется определенным интегралом ф-ции f(x) по отрезку ав и читается следующим образом: интеграл от а до b, f(x) до ч, чмсло а и в- пределы интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла, если f(x)>0, на отрезке ав, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью х, сверху графиком ф-ции f(x) слева- прямой х=а, справа- х=в
Свойства определенного интеграла
1)а
⌠f(x0dx=0
b
2) a a
⌠f(x)dx=-⌠f(x)dx
b b
3) b b b
⌠(f(x)+g(x))dx=⌠f(x)dx+⌠g(x)dx
a a a
4)a a
⌠αf(x)dx=α⌠f(x)dx
b b
5)a c b
⌠f(x)dx=⌠f(x)dx+⌠f(x)dx
b a c b
6)m≤f(x)≤M: любое х принадлежит отрезку ав. m(b-a)≤ ⌠f(x)dx≤M(b-a)
A
7)f(x)непрерывна на отрезке ав, (то)=>существует с принадлежащая отрезку ав
b
⌠f(x)dx=f(c)*(b-a)
A
Формула Ньютона-Лейбница
Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
Замена переменной в определенном интеграле
ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].
Тогда справедливо следующее равенство:
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Интегри́рование по частя́м -Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией),
Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .
Дифференциальные уравнения. Задача Коши
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке.
Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
В качестве дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными принято определять ОДУ первого порядка, приводящиеся к виду (ДУ с разделенными переменными).
Запишем такие уравнения:
а)
б)
Линейное ДУ первого порядка
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид
Формулы комбинаторики
· Размещение:
Размещение из n по m элементам называется любая упорядоченная выборка содержащая m-элементов.
Любые 2 размещения считаются различными, если они отличаются друг от друга составом или порядком следования элементов.
· Перестановка:
Перестановкой из n-элементов называется размещение из n по m.
2 любые перестановки отличаются только порядком следования элементов.
- количество повторений j-ого элемента.
· Сочетание:
Сочетание из n-элементов по m-элементам называется любое подмножество одного множества. Два любых элемента отличаются друг от друга хотя бы элементом.