Вычисление определенного интеграла

Рассмотрим интеграл Вычисление определенного интеграла - student2.ru с переменным верхним пределом Вычисление определенного интеграла - student2.ru . Обозначим Вычисление определенного интеграла - student2.ru . Производная функции Вычисление определенного интеграла - student2.ru по переменному верхнему пределу х имеет вид:

Вычисление определенного интеграла - student2.ru .

Аналогичная формула справедлива и для случая переменного нижнего предела.

Теорема. Для всякой функции Вычисление определенного интеграла - student2.ru , непрерывной на отрезке Вычисление определенного интеграла - student2.ru , существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема. (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция Вычисление определенного интеграла - student2.ru – произвольная первообразная от непрерывной функции Вычисление определенного интеграла - student2.ru , то

Вычисление определенного интеграла - student2.ru

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство. Пусть Вычисление определенного интеграла - student2.ru – произвольная первообразная функции Вычисление определенного интеграла - student2.ru на отрезке Вычисление определенного интеграла - student2.ru . Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция Вычисление определенного интеграла - student2.ru также

является первообразной для функции Вычисление определенного интеграла - student2.ru на этом отрезке. Так как любые две первообразные непрерывной функции могут отличаться только на постоянную, то

Вычисление определенного интеграла - student2.ru или Вычисление определенного интеграла - student2.ru .

При соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при Вычисление определенного интеграла - student2.ru :

Вычисление определенного интеграла - student2.ru Вычисление определенного интеграла - student2.ru Вычисление определенного интеграла - student2.ru Вычисление определенного интеграла - student2.ru Вычисление определенного интеграла - student2.ru .

Тогда Вычисление определенного интеграла - student2.ru . А при Вычисление определенного интеграла - student2.ru : Вычисление определенного интеграла - student2.ru .

Заменив переменную Вычисление определенного интеграла - student2.ru на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Вычисление определенного интеграла - student2.ru .

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение Вычисление определенного интеграла - student2.ru .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Замена переменных в определённом интеграле

Пусть дан интеграл Вычисление определенного интеграла - student2.ru , где Вычисление определенного интеграла - student2.ru – непрерывная функция на отрезке Вычисление определенного интеграла - student2.ru .

Введем новую переменную в соответствии с формулой Вычисление определенного интеграла - student2.ru . Тогда если

1) Вычисление определенного интеграла - student2.ru , Вычисление определенного интеграла - student2.ru

2) функции Вычисление определенного интеграла - student2.ru и Вычисление определенного интеграла - student2.ru непрерывны на отрезке Вычисление определенного интеграла - student2.ru

3) функция Вычисление определенного интеграла - student2.ru определена на отрезке Вычисление определенного интеграла - student2.ru , то

Вычисление определенного интеграла - student2.ru .

Тогда Вычисление определенного интеграла - student2.ru

Пример.

Вычисление определенного интеграла - student2.ru

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Пример.

Вычисление определенного интеграла - student2.ru , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Вычисление определенного интеграла - student2.ru ,

т. е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная Вычисление определенного интеграла - student2.ru имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке Вычисление определенного интеграла - student2.ru ). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

Наши рекомендации