Определение, свойства и вычисление определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

1) Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, b]. Тогда функции f(x) + g(x) также интегрируемы на этом отрезке, причем

.

2) Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то функция kf(x) (где k – постоянная) также интегрируема на этом отрезке, причём

.

3) Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, c] и [с, b], то функция f(x) интегрируема и на отрезке [а, b], причём

.

4) Интеграл по симметричному интервалу:

a) f(x) – интегрируемая на интервале [-а, а] функция, причём f(x) – чётная на нём, тогда

.

b) f(x) – интегрируемая на интервале [-а, а] функция, причём f(x) – нечётная, тогда

.

Оценки интервалов

5) Если функция f(x) интегрируема на интервале [а, b] и f(x) > 0 для всех x из [а, b], то интеграл от функции f(x) по этому интервалу неотрицателен, т.е.

.

6) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на интервале [а, b] и f(x) < g(x) для всех x из [а, b], то

.

7) Если f(x) интегрируема на интервале [а, b], где а < b, и если во всём этом интервале имеет место неравенство m < f(x) < M, где M и m – наибольшее и наименьшее значения функции f(x) в интервале [а, b], то

b

m(b – а) < ò f(x)dx < M(b – а)

a

Среднее значение функции на отрезке

8) Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке x = c отрезка интегрирования [а, b] на длину отрезка (b – а):

, или

Значение f(c), определяемое по этой формуле, называется средним значением функции f(x) в отрезке [а, b].

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интеграла:

, где F'(x) = f(x) (1.2)

Эта формула носит название формулы Ньютона-Лейбница.

Способы вычисления определенных интегралов

1) Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона- Лейбница.

Пример 1.10. Вычислить .

Решение. =

2) Вычисление определенных интегралов с помощью замены переменной.

Пример 1.11. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку t = 3 + x², отсюда dt = 2xdx.

= 0,5 = 1/3 t^3/2 = 1/3 (8 – 3 ) = 8/3 – .

3) Вычисление определенных интегралов с помощью формулы интегрирования по частям

Пример 1.12. Вычислить интеграл .

Решение. Положим u = lnx, отсюда du = d(lnx) = (1/x)dx; dv = dx; v = x и по формуле (1.1) находим

= xlnx – = (x·ln(x) – x) = (x(ln(x) – 1) = (e(ln(e) – 1) – (1·0 – 1) = (e – 1) + 1 = e.

Применение определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(x) > 0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f(x), x = a, x = b, равна:

()

Если f(x) ≤ 0, то площадь соответсвующей кривой определяется формулой:

()

Если кривая y = f(x) пересекает ось 0x, то отрезок [a, b] нужно разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знак, и общая площадь будет равна сумме площадей частей.

Пример 1.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 3x.

Решение. Искомая площадь представляет собой разность между площадью прямоугольника, ограниченного сверху прямой y = 3x, и площадью криволинейного треугольника, ограниченного сверху участком параболы (рис. …):

S = .

Абсциссу точки b пересечения графиков находим из уравнения x² = 3x:

x² – 3x = 0, x(x – 3) = 0, x₁ = 0, x₂ = 3. Откуда b = 3. Следовательно,

Построение графика функции

Несобственные интегралы

Несобственными называются определенные интегралы, у которых либо пределы интегрирования a и b не являются конечными, либо подынтегральная функция f(x) на отрезке [a; b] не является непрерывной. Например, Если этот интеграл имеет конечный предел, то он называется несобственным сходящимся интегралом и обозначается:

.

Значение интеграла определяется по формуле Ньютона- Лейбница:

. (1.3)