Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, где a < b,
численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).
Рисунок. 3
Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.
Рисунок. 4
Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
и т.д.
(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса).
Методы интегрирования определенных интегралов заменой переменной и по частым.
Метод замены переменной в определенном интеграле
Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна на , причем , и для всех выполняется . Тогда
.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение.
Обозначим , тогда , . Подставим старые пределы интегрирования в формулу , получим новые пределы интегрирования , . Следовательно,
2. Метод интегрирования по частям
Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда
.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Пример.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
При построении определенного интеграла предполагалось, что выполняется два условия:
пределы интегрирования и конечны;
подынтегральная функция ограничена на отрезке интегрирования .
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от неограниченных функций называются несобственными интегралами.
Пусть определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , где .
Несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования (интегралом 1-го рода) называется предел интеграла при :
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует или равен , то расходящимся.
Пусть - первообразная функция для на промежутке . Тогда можно применить формулу Ньютона-Лейбница:
.
Обозначая , формулу можно записать так:
.
Пример 7. .
Данный интеграл является сходящимся.
Геометрически несобственный интеграл от дает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией , слева , снизу осью ОХ. Если интеграл сходится – площадь конечна, а если расходится – площадь бесконечна.
0
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом:
и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:
.
Пример 8.
Данный интеграл является сходящимся.