Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, где a < b,

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).

Рисунок. 3

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Действительно, при стремлении Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Рисунок. 4

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и т.д.

(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса).

Методы интегрирования определенных интегралов заменой переменной и по частым.

Метод замены переменной в определенном интеграле

Пусть функция Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru непрерывна на отрезке Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , а функция Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru непрерывна на Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , причем Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и для всех Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru выполняется Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Тогда

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Пример 1. Вычислить интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Решение.

Обозначим Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , тогда Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Подставим старые пределы интегрирования в формулу Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , получим новые пределы интегрирования Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Следовательно,

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

2. Метод интегрирования по частям

Пусть функции Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru имеют непрерывные производные на отрезке Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Тогда

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

При построении определенного интеграла Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru предполагалось, что выполняется два условия:

пределы интегрирования Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru конечны;

подынтегральная функция Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru ограничена на отрезке интегрирования Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от неограниченных функций называются несобственными интегралами.

Пусть Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru определена на промежутке Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и интегрируема на любом отрезке Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования (интегралом 1-го рода) называется предел интеграла Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru при Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru :

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует или равен Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , то расходящимся.

Пусть Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru - первообразная функция для Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru на промежутке Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Тогда можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Обозначая Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , формулу можно записать так:

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Пример 7. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Данный интеграл является сходящимся.

Геометрически несобственный интеграл от Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru дает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , слева Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , снизу осью ОХ. Если интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru сходится – площадь конечна, а если расходится – площадь бесконечна.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

0 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом:

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Пример 8.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Данный интеграл является сходящимся.

Наши рекомендации