Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное уравнение 2-ого порядка

(1)

p, q — постоянные действительные числа

(2) характеристическое уравнение, его корни

,

При этом возможны следующие случаи:

1. и — действительные и притом не равные между собой числа ( ). Тогда общее решение имеет вид (3)

2. и — комплексные числа

, , где ,

Общее решение имеет вид (4)

3. и — действительные равные числа ( ).

Общее решение имеет вид (5)

Пример 9.1. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение

; ,

Общее решение

Пример 9.2. Решить уравнение

Решение

; ,

10. Неоднородные линейные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Это уравнение вида

(1)

Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей.

№	Правая часть дифференциальных уравнений	Корни характеристического уравнения	Виды частного решения
		1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения.
2. Число 0 — корень характеристического уравнения кратного S.
		1. Число не является корнем характерного уравнения.
2. Число является корнем характерного уравнения кратности S.
		1. Число не является корнем характерного уравнения.
2. Число является корнем характерного уравнения кратности S.
		1. Число не является корнем характерного уравнения.
2. Число является корнем характерного уравнения кратности S.

Пример 10.1. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение

, ,

Общее решение однородных уравнений имеет вид:

Правая часть уравнения , т.к. не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид (см. табл. Случай 2/1)

Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на , будем иметь

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов , и :

Общее решение данного уравнения

Пример 10.2. Найти общее решение уравнения

Решение: характеристическое уравнение k²+ 10k + 25=0 имеет двукратный корень k₁ = k₂=-5, поэтому y= (C₁ +C₂ x ) e^-5x.

Т. к. к=-5 является корнем характеристического уравнения кратности s=2, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде ( см. табл., случай 2(2)):

Подставляя выражения для y,y^! ,y^”в исходное уравнение, получаем

2Ae^-5x =4e^-5x, A=2, y = 2x²e^-5x. Общее решение данного уравнения

Пример 10.3 Найти частное решение уравнения

Подставляя выражения для y,y^! ,y^”в исходное уравнение, получаем:

(B-3A) cosx +(-3B-A) sinx = cosx –3 sinx,

Найдем С₁ и С₂ , используя начальные условия:

Пример 10.4. Решить уравнение:

т. к. 0- простой корень характеристического уравнения, т.е.s=1, то частное решение ищем в виде:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить уравнения:

8. За 30 дней распалось 50 % первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1 % от первоначального количества?

( Закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в рассматриваемый момент).

9. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы касания.

Ответы:

8. »200 дней.

9.y=Cx².