Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Вид уравнения:   Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - числа Характер корней характеристического уравнения  
Корни действительные, различные, т. е. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Корни действительные, есть повторяющиеся, т.е. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (корень кратности m) Корни комплексные, различные Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и т. д. Корни комплексные, есть повторяющиеся Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - пара корней кратности Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru  
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - общее решение денного уравнения, где Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - произвольные постоянные, Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - фундаментальная система решений данного уравнения. Вид частных решений Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , соответствующих корням характеристического уравнения  
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . . . . . . . . . . . . Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . . . . . . . . . . . . Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru  
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - характеристическое уравнение  

22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка
с постоянными коэффициентами

Вид уравнения:   Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Метод вариации произвольных постоянных Метод подбора частного решения  
Если Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения находится по формуле Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , если Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru где Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru находится из системы уравнений Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Частный случай: Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru где Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru находятся из системы уравнений Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Þ найти Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru где Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - постоянные Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - специальный вид правой части неоднородного уравнения (пусть Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ) Частное решение Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ищется в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – кратность корней Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru характеристического уравнения: Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru То есть Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru зависит от правой части Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и от корней характеристического уравнения.  
Структура общего решения: Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - общее решение соответствующего однородного уравнения, Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - частное решение неоднородного уравнения.  
Если Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - частное решение уравнения Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - частное решение уравнения Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - частное решение уравнения Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru  

Числовые ряды. Основные понятия

№ п/п Понятие Определение и обозначение
1. Ряд Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
2. Члены ряда, общий ( n – ый ) член ряда Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - бесконечная числовая последовательность, где Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
3. Частичные суммы ряда Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
4. Последовательность частичных сумм Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
5. Сходящиеся ряды Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – сумма ряда Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
6. Расходящиеся ряды Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
7. Остаток ряда Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
Основные свойства сходящихся рядов
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru сходится Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - сходится
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru сходится, Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – его сумма Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru сходится, Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - его сумма
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru сходится, Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – его сумма Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - сходится и
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru сходится, Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – его сумма Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - его сумма
Необходимый признак сходимости ряда
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - сходится Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
Следствие: Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - расходится
         

Числовые ряды с положительными членами

Определение Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - действительные числа
Некоторые ряды и их поведение Гармонический ряд Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru расходится
Обобщенный гармонический ряд Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru при Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
Ряд геометрический Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru при Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
В частности при Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ряды Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru расходится
Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами
Признаки сравнения Интегральный признак Коши Признак Даламбера Признак Коши
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (1) Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (2) Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru: непрерывная, положительная, невозрастающая Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru     Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Замечание: Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru где Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (при Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ~ Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru )   Þ Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru одновременно сходятся или расходятся а) Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - сход. б) Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - расход. а) Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - сход. б) Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - расход.
2. а) Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru сход. Þ Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru сход Замечание: 1. Если Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то признак Даламбера и Коши не дают ответа о поведении ряда. 2. Признак Даламбера иногда используется без предельного перехода: Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru сход., Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru расход.
б) Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru расход. Þ Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru расход.
Замечание: В качестве рядов для сравнения удобно выбирать ряды Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru
                 



Наши рекомендации