Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами

постоянными коэффициентами.

Решение дифференциального уравнения вида Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru или, короче, Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru будем искать в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru , где k = const.

Т.к. Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru то

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru

При этом многочлен Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru называется характеристическим многочленомдифференциального уравнения.

Для того, чтобы функция Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru т.е. Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru

Т.к. ekx ¹ 0, то Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru - это уравнение называется характеристическим уравнением.

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. постоянными коэффициентами - student2.ru

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Наши рекомендации