Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида: , где p и g – числа(*)

Определение:Уравнение - называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) – обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи:

1)D>0 - два действительных различных решения.

2)D=0 - один действительный корень кратности 2.

3)D<0 - два комплексно сопряжённых корня.

Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и .

Будем показывать что:

1) и - ЛНЗ

2) и - решение (*)

Рассмотрим 1 случай D>0 - 2 действительных различных корня.

Характеристическое уравнение:

В качестве ФСР возьмём:

а) покажем ЛНЗ

б) покажем, что - решение (*), подставим

+ p +g =0

верное равенство решение (*)

аналогично показывается для y₂.

Вывод: - ФСР (*) общее решение

Рассмотрим 2случай: D=0 - 1 действительный корень кратности 2.

В качестве ФСР возьмём:

ЛНЗ: ЛНЗ есть.

- решение уравнения (см. 1 случай). Покажем что - решение.

подставим в ДУ

- решение.

Вывод:ФСР

Пример:

3 случай:D<0 - 2 комплексно сопряжённых корня.

подставим в характ. уравнение

комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.

- будем использовать.

Покажем, что - образуют ФСР.

А)ЛНЗ:

Б) - решение ДУ

верное равенство - решение ДУ.

Аналогично показывается, что тоже решение.

Вывод:ФСР:

Общее решение:

Пример:

Если заданы н.у.

- то сначала находят общее решение , его производную: , а потом в эту систему подставляют н.у и находят и .

Пример:

Н.у:

Линейные однородные ДУ порядка n с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида: , где а_i – числа.

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

Слева стоит многочлен степени n, который имеет n корней с учётом их кратности и комплексности, следовательно ФСР будет состоять из n решений:

1) Каждому простому корню характеристического уравнения , (имеющему кратность 1)ставится в соответствие

2)Каждому действительному корню кратности r ставится в соответствие r решений:

3) Каждой паре комплексно сопряжённых корней 2 фундаментальных решения:

4) Если пара комплексно сопряжённых корней имеет кратность 2 и выше то ФСР строятся аналогично 2 случаю.

Общее решение уравнения – линейная комбинация фундаментальных решений

Основная трудность состоит в том чтобы правильно решить характеристическое уравнение.

Пример:

Линейные неоднородные ДУ

Это уравнения вида:

Теорема об общем решении ДУ:Общее решение ДУ(*) имеет вид:

, где - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Доказательство: подставим в

раскроем скобки и перегруппируемся:

(верно)

Если даны н.у

нужно показать, что все константы находятся однозначно

, где ФСР

Продифференцируем нужное количество раз и подставим н.у

получим систему n-линейных уравнений с n неизвестными . Определитель этой системы

- определитель Вронского системы функций .

Т.к - ФСР линейная система имеет единственное решение и все константы находятся однозначно.

Конец доказательства.

Замечание:Общее решение соответствующего однородного уравнения

- линейная комбинация ФСР – известно

Основная трудность нахождения y_ч – решения неоднородного уравнения.