Дифференцирование параметрически заданных функций.

Параметрически заданной называется функция y=y(x), если она возникла с помощью соотношений

,tÎT.

Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле:

Чтобы отыскать вторую производную, используем эту формулу 2 раза.

Производная по направлению.

Пусть даны скалярная функция f(M)=f(x₁,x₂,…,x_n) векторного аргумента, ненулевой вектор а и фиксированная точка М₀.

Тогда производной от функции f(M) в направлении вектора ав точке М₀ называется предел

и обозначается , при этом знак выбираем знак «+», если вектор M₀M­­a,

« - », если M₀M­¯a.

Кривизна графика фун-и в точке М₀ – число k, определяемое равенством ,

Где w- угол между касательными в точках М и М₀,

а s - длина дуги.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Уравнение касательной для функции, заданной:

· В явной форме:

· В неявной форме:

или

· Для параметрически заданной функции:

tÎ(t₁,t₂) или

при t=t₀,x₀=x(t₀),y₀=(t₀),

· В случае пространственной кривой, заданной параметрически :

Нормаль к кривой – прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

· При задании кривой неявно уравнением F(x,y)=0 ур-е нормали в точке (x₀,y₀) можно записать в виде:

Касательная плоскость к поверхности S в точке М₀ – плоскость П, проходящая через точку М₀ и содержащая касательные ко всем кривым, проходящим через М₀ и лежащим на поверхности S в точке М₀.

· Уравнение касательной плоскости к поверхности F(x,y,z) = 0 в точке М₀(х₀, у₀, z₀) можно записать в виде:

· Если поверхность S задана явно ур-м z=f(x,y), то ур-е касательной имеет вид:

· Уравнение нормали к поверхности F(x,y,z) в точке М0(х₀,y₀,z₀) можно записать в виде:

Дифференциал функции.

Дифференциал высшего порядка

33. Формула Тейлора.

Если f – скалярная фун-я одной или многих переменных, имеющая непрерывные производные до порядка (n+1) включительно, то ее приращение в точке х₀, вызванное приращением аргумента Dх, можно представить в виде:

Эта формула применяется для вычисления приближенных значений.

Формула Лагранжа.

, где с – точка, лежащая между х и х₀.

Формула Маклорена.

При х=х₀ формула Тейлора называется формулой Маклорена.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема1.

Пусть функция f имеет в точке х₀ конечную производную f’(x₀).

Если f’(x₀)>0 то существует окрестность U(x₀) этой точки такая, что f(x)>f(x₀) для любого х Î U⁺(х₀) (из правосторонней окрестности).

f(x)<f(x₀) для любого х Î U^-(х₀) (из левосторонней окрестности).

При f’(x0)<0 выполняются противоположные неравенства.

Точка наибольшего или наименьшего значения функции f(x) в области Х – точка х₀ (хÎХ), для всех хÎХ которых выполняется неравенство:

f(x)£f(x₀) (f(x)³f(x₀).

Теорема Ферма. Пусть фун-я f(x) определена на промежутке (a,b) и в точке с этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значения. Тогда, если существует f’(c), то f’(c)=0.

Теорема Ролля. Если:

1) f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]

2) существует конечная производная f’(x) на (а,b)

3) f(a)=f(b), то существует такая точка с, a<c<b что f’(c)=0.

Теорема Лагранжа.Если:

1) f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]

2) существует конечная производная f’(x) на (a,b),то найдется такая точка с, a<c<b, что

Теорема Коши. Если:

1) функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на [a,b]

2) существуют конечные производные f’(x) и g’(x) на (a,b)

3) g’(x)¹0 для всех х Î (a,b),

то существует точка с Î (a,b) такая, что

Теорема6. Если функция f(x) имеет в точке х конечную производную f’(x), то фун-я f дифференцируема в этой точке.

Теорема7. Если функция f(x) имеет в то х конечную производную и эта производная непрерывна в этой точке, то функция f дифференцируема в этой точке.

Правило Лапиталя.

Если:

1) функции f(x) и g(x) определены на (a,b)

2)

3) всюду на (a,b) существуют производные f’(x) и g’(x) причем g’(x)¹0

4) существует предел , то существует и предел

Теорема Лапиталя2. Если:

1) функции f(x) и g(x) определены на (a,b)

2)

3) всюду на (a,b) существуют производные f’(x) и g’(x), причем g’(x)¹0

4) существует предел , то существует и предел .