Дифференциальные уравнения первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Общий вид дифференциального уравнения следующий:

F(x, y, y^/, y^//,…, y⁽ⁿ⁾) = 0.

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция, n – наивысший порядок производной, с которым искомая функция входит в уравнение. Значение n называется порядком дифференциального уравнения.

Часто имеют дело с уравнениями, разрешенными относительно производной. Например, уравнение 2-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

y^//=f(x, y, y^/).

Решением дифференциального уравнения в интервале (a, b) называется функция y = y(x), обращающее это уравнение в тождество по переменной x.

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение y^/=f(x), решениями которого, очевидно, являются все первообразные функции f(x):
y = F(x) + C, где С – произвольная постоянная. Таким образом, задача интегрирования есть частный случай задачи решения дифференциального уравнения.

Как правило, решение дифференциального уравнения n-го порядка определяются с точностью до n произвольных постоянных. Например, решениями дифференциального вида

y^/// = 2x + 1

являются функции y(x, C₁, C₂, C₃) = дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru + C₁ + C₂x + C₃.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка следующий:

F(x, y, y^/) = 0. (1)

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, имеют общий вид

= f(x, y). (2)

Пусть ставится задача: найти решение уравнения (2), удовлетворяющее условию y(x₀) = y₀. Эта задача называется задачей Коши с начальными значениями (x₀, y₀).

Теорема существования и единственности. Для того, чтобы задача Коши имела единственное решение в некоторой области G начальных значений (x₀, y₀) достаточно, чтобы функция f(x, y) была непрерывна в области Gвместе с f _y^/ (x, y).

График решения y = y(x)дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Теорема утверждает, что через каждую точку области G, в которой непрерывны f(x, y) и f_y^/(x, y), проходит, и притом единственная, интегральная кривая (рис.1).

рис.1

Линейные уравнения

Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида y^/+a(x)y= b(x), где a(x), b(x)– непрерывные функции. Если b(x)=0, то в этом случае линейное уравнение называют однородным. Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его.

Из y^/+a(x)y= 0 следует =–a(x)dx, откудаln |y| = –òa(x)dx + ln |С|, C¹0. Поскольку y = 0 – специальное (тривиальное) решение, то общее решение линейного однородного уравнения записывается в виде

y_одн =C×exp(–òa(x)dx), C–произвольная постоянная (8)

(exp(x) – часто используемое в литературе обозначение функции e^x). Для решения неоднородного уравнения применяют метод вариации произвольной постоянной. Вкратце опишем его. Согласно этому методу постоянная C заменяется функцией C=C(x), т.е. превращается в переменную величину, иначе говоря, варьируется. Выражение y = C(x)×exp(–òa(x)dx)подставляем в неоднородное уравнение, получается дифференциальное уравнение уже относительно функции C(x), которая затем находится, и при этом появляется другая постоянная. Таким образом получится общее решение неоднородного уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример. Решить уравнение y^/ – y = (x+1)³.

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид y^/ – y =0.Здесь a(x) = – . Получаем согласно (8)

y_одн =C×exp( ò dx) = C×exp(2×ln |x+1|) = C(x+1)².

ВарьируемC: C=C(x).Подставляем y = C(x+1)² в исходное уравнение:

(x+1)² + 2C(x+1) – C(x+1)²= (x+1)² = (x+1)³,

откуда = x+1иC(x) = (x+1)² + D. Теперь можно записать общее решение исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения с новой произвольной постоянной D: y = C(x)×(x+1)² = (x+1)⁴ + D(x+1)².

Пример. Решить уравнение 2x(x² + y)dx = dy.

Решение. Данное уравнение преобразуется к виду – 2xy = 2x³. Здесь
a(x)= –2x и соответствующее однородное уравнение y^/– 2xy = 0. Его общее решение y_одн =C×exp( ò 2xdx) = C×exp(x²). Полагая C = C(x) и подставляя C в исходное уравнение y^/ – 2xy = 2x³, получаем

exp(x²) + 2Cx×exp(x²) – 2x×C×exp(x²) = 2x³ или = 2x³×exp(–x²).

Определяем C(x);с этой целью используем замену t = x², dt = 2x dx, а затем интегрирование по частям:

C(x) = ò 2x³×exp(–x²)dx = ò t×exp(–t)dt = – t×exp(–t) + ò exp(–t)dt =

= – (t+1)×exp(–t) + D = – (x² + 1) ×exp(–x²) + D.

Здесь D – новая произвольная постоянная. Получаем общее решение исходного уравнения в виде y = C(x)×exp(x²) = D×exp(x²) – x² – 1.

Уравнение Бернулли

Уравнения Бернулли имеют вид y^/ + a(x)y = b(x)×yⁿ.Если n=1, то имеем однородное линейное дифференциальное уравнение. При n¹1 уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению делением обеих частей на yⁿ и последующей заменой z = y^{1 –}ⁿ.

Пример. Решить уравнение x× y^/ – 2x² = 4y.

Решение. Преобразуем данное уравнение, после чего будет видно, что имеем дело с уравнением Бернулли. Действительно,

y^/– 2x = 4 или y^/– 4 = 2x = 2xy^1/2.

Здесьa(x) = – , b(x) = 2x, n = 1/2. Имея в виду, что y = 0 – специальное решение, делим на y^1/2 и получаем преобразованное уравнение – 4 = 2x. Теперь делаем замену

z = y^{1 – 1/2} = y^1/2, z¢ = y^{–1/ 2}×y¢ = и 2z¢ = ,

откуда получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции z(x): 2z¢– 4 =2x или z¢ – 2 =x. Решим его. Запишем соответствующее однородное уравнениеz¢ – 2 =0, его общим решением будет

z_одн= С×exp( ò dx) = С×exp(2ln |x|) = Cx².

Применяя метод вариации произвольной постоянной получаем

C¢x²+ 2Cx – 2 = C¢x² = x или C¢=1/x,

откуда C(x) = ln |x| + D, z(x)=C(x)×x²= (ln |x| + D)×x². Т.к. = z, то общее решение данного уравнения Бернулли имеет вид y = (ln |x| + D)²×x⁴, а также есть специальное решение y=0.