Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!

Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому-что на самом делеДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной иНеопределенный интеграл, тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Потому что придется много интегрировать. И дифференцировать. Такженастоятельно рекомендую научиться находить производную от функции, заданной неявно.

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в таком порядке. Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование.

Сначала вспомним обычные уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru имеет единственный корень: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru ;
2) зависимую переменную Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru (функцию);
3) первую производную функции: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

В некоторых случаях в уравнении первого порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек» – важно чтобы в ДУ была первая производная Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , и не было производных высших порядков – Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение?Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Полный боекомплект. С чего начать решение любого дифференциального уравнения первого порядка?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Такое обозначение производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно!

Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – это общий интеграл.

Теперь нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях. Когда в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.

То есть, вместозаписи Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru обычно пишут Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Здесь Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – это такая же полноценная константа, как и Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . В данном случае:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru является общим решением дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Придавая константе Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

Многие дифференциальные уравнения довольно легко проверить. Делается это очень просто, берём найденное решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и находим производную:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Подставляем наше решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и найденную производную Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru в исходное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru удовлетворяет уравнению Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях.

1) В этом примере нам удалось разделить переменные: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, воднородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют. …тьфу, lurkmore.ru давеча начитался.

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения.

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , удовлетворяющее начальному условию Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Интегрируем уравнение:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . В данном случае:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Если Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – это константа, то Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – тоже некоторая константа, которую обозначим через букву Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Запомните «снос» константы, это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , чтобы выполнялось заданное начальное условие Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
То есть, Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Стандартная версия оформления:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

В общее решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru подставляем найденное значение константы Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – это и есть нужное нам частное решение.

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа.

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru удовлетворяет начальному условию Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и находим производную:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Подставляем Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru в исходное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :

Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

И перекидываем множители по правилу пропорции:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Переменные разделены, интегрируем обе части:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

В правой части у нас получился логарифм, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. Максимально «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится с помощью трёх свойств:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Пожалуйста, перепишите эти три формулы к себе в рабочую тетрадь, при решении диффуров они применяются очень часто.

Решение распишу очень подробно:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Упаковка завершена, убираем логарифмы:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: Если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и ужасно – с большими корнями, знаками Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить общий интеграл в виде Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-)

Ответ: общий интеграл: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производные от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Умножаем оба слагаемых на Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

И делим на Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , удовлетворяющее начальному условию Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что задача Коши состоит из двух этапов:
1) Нахождение общего решение.
2) Нахождение частного решения.

Проверка тоже проводится в два этапа (см. также образец Примера 2), нужно:
1) Убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию.
2) Проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , удовлетворяющее начальному условию Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Выполнить проверку.

Решение:Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Интегрируем уравнение:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

(Надеюсь, всем понятно преобразование Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Более привычное оформление: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Подставляем найденное значение константы Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru в общее решение.

Ответ: частное решение: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru дифференциальному уравнению. Находим производную:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Смотрим на исходное уравнение: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Подставим найденное частное решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и полученный дифференциал Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru в исходное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Используем основное логарифмическое тождество Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru выразим производную, для этого разделим все штуки на Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и найденную производную Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Ответ представить в виде общего интеграла Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, чайнику), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и отделить корни: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно делать практически всё, что угодно. И не всегда такие преобразования понятны новичку. Рассмотрим еще один условный пример: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Полученная константа Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru : Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru целесообразно переписать в виде другой константы: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Беда же состоит в том, что частенько не заморачиваются с индексами, и используют одну и ту же букву Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . И в результате запись решения принимает следующий вид:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Что за фигня? Тут же ошибки. Формально – да. А неформально – ошибки нет, подразумевается, что при преобразовании константы Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru всё равно получается какая-то другая константа Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Или такой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Формально по записи тут опять ошибка, следовало бы записать Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Но неформально подразумевается, что Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru – это всё равно какая-то другая константа (тем более Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru может принимать любое значение), поэтому смена у константы знака не имеет никакого смысла и можно использовать одну и ту же букву Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Интегрируем:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Константу Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Это пример для самостоятельного решения. Единственный комментарий, здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, ачастный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.

Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.

Пример 9

Решить дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Пример 10

Решить дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока.

Следующая рекомендуемая статья – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Успешного продвижения!

Пример 4:Решение:Найдем общее решение. Разделяем переменные:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Интегрируем:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Выражаем функцию в явном виде, используя Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .
Общее решение: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .
Способ второй:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Подставляем найденное значение константы Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru в общее решение.
Ответ:частное решение: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , да, начальное условие Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Подставим полученное частное решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и найденную производную Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru в исходное уравнение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 6:Решение:Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Ответ:общий интеграл: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Примечание: тут можно получить и общее решение:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно хреново.

Пример 8:Решение:Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Интегрируем:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Общий интеграл: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Подставляем в общее решение Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru :
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Ответ:Частный интеграл: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.

Пример 9:Решение:Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Левую часть интегрируем по частям:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
В интеграле правой части проведем замену:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Таким образом:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
(здесь дробь раскладываетсяметодом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Обратная замена: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Ответ:общий интеграл: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Пример 10:Решение:Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Примечание: Интеграл Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru можно было также найти методом выделения полного квадрата.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru
Ответ:общее решение: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Наши рекомендации