Свойства сходящихся числовых рядов

Свойства сходящихся числовых рядов

1°. Пусть ряд сходится и Тогда для любого ( = const) схо­дится ряд и имеет сумму .{Пусть . , }.

2°.Если сходятся ряды и , то сходится ряд и имеет сумму A+B.

{Пусть . => }.

3°.Если , то для любых чисел и .{Следует из 1° и 2°}

4°.Если сходится ряд , то сходится и любой его остаток. Если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

{Обозначим m-ый остаток ряда , его p-ую частичную сумму . Пусть . ; (*) Зафиксируем , а устремим к бесконечности. Тогда . и остаток ряда сходится.

Если же известно, что сходится остаток ряда , то из (*) следует: и ряд сходится.

Обозначим . Тогда из (*) следует: (**) или .}Выводы: 1.Переходя в (**) к пределу при , получаем 2.Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоедине­ние в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда (в смысле его сходимости или расходимости).

Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости

Теорема (критерий Коши):Для того чтобы ряд сходился, необхо­димо и достаточно, чтобы и выполнялось бы: .{Сходимость числового ряда определяется сходимостью числовой последовательности { }. Ранее доказано: для того чтобы последователь­ность { } сходилась, необходимо и достаточно, чтобы и выполнялось бы: или .}

Теорема (необходимое условие сходимости) : . Переходя к пределу при , получим: . Тот же результат можно получить из критерия Коши, полагая p = 1. Очевидно, условие является необхо­димым, но не достаточным условием сходимости числового ряда.(НО :Ряд расходится , однако )

Признаки сравнения числовых рядов

Теорема 1 (признак сравнения):Пусть даны два ряда: (1) и (2). Если, начиная с некоторого номера выполняется: (3), , то из сходимости ряда (2) сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) расходимость ряда (2).

{Не ограничивая общности, будем считать, что неравенство вы­полняется для всех n . Пусть . Очевидно, последовательно­сти { } и { } – монотонные неубывающие. Пусть ряд (2) сходится. То­гда { } ограничена: . Но тогда, в силу (3), и ряд (1) – также сходится.

Пусть ряд (1) расходится. Если бы ряд (2) сходился, то, по доказанному выше, сходился бы и ряд (1). Т.е. получили бы противоречие. Таким обра­зом, ряд (2) также расходится.}

Теорема 2 (признак сравнения в предельной форме):Пусть Если существует то ряды (1) и (2) сходятся либо расходятся одновременно.{Пусть ряд (2) сходится.Из существования : , откуда получаем: или следует сходимость ряда (1). Пусть ряд (2) расходится.Существует , откуда аналогичным образом получаем: . Если бы сходился ряд (1), а вме­сте с ним и ряд , то по теореме 1 сходился бы и ряд (2). А это не так. Значит, ряд (1) также расходится.}

. Так как , а ряд - расходится ( то расхо­дится и ряд .

Признак Коши и Даламбера

Теорема (признак Коши в предельной форме):Если существует , то при ряд (1) сходится; при расходится, при этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.

{

a) начиная с некоторого номера < 1. Ряд схо­дится.

б) начиная с некоторого номера >1 . Ряд расходится. }

Теорема (признак Даламбера):Пусть Если, начиная с некото­рого номера , для всех , то ряд (1) сходится. Если же , то ряд (1) расходится. { Пусть . Для Т.к. ряд - сходится, то, по признаку сравнения, сходится и остаток ряда , а значит, сходится ряд (1). Пусть для . Т.е. и , не выполня­ется необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходится. }

Теорема (признак Даламбера в предельной форме) :Если то при ряд (1) сходится, при расходится, при этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.

{ a) начиная с некоторого номера Ряд сх.

б) начиная с некоторого номера >1. Ряд расх. }

5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Макло­рена)

Теорема (Коши - Маклорена):Пусть функция у = f(x) определена при х≥1, неотрицательна и монотонно убывает на ∞). Тогда ряд , где сходится тогда и только тогда, ко­гда сходится несобственный интеграл (2)

[Так как f(x) монотонна на ∞) , то она интегрируема по Риману на любом отрезке [1, ], поэтому имеет смысл . Так как f(x)-убы­вает на ∞), то для f(k+1) . Проинте­грируем последнее неравенство по отрезку : , k=1,2,3.4...

Просуммируем по к:

Обозначим , Тогда

Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Последователь­ность монотонна ( ) и ограничена. Тогда огра­ничена и после­довательность . А поскольку она моно­тонно возрастает, то явля­ется сходящейся.

Пусть сходится ряд (1). Покажем, что сходится несобственный инте­грал (2). Последовательность – монотонная, сходящаяся последователь­ность, следовательно, ограничена.

Тогда из (3) следует ограниченность возрастающей последова­тельно­сти , а следовательно, её сходимость. То есть су­ществует конеч­ный ; интеграл (2) сходится.}

Пример : , s>0, Рассмотрим f(x)= на [1, );

Значит, ряд сходится при s>1 и расходится при s

Следствие.

S S_2n-1

S- S_2n+1-S_2n = , S_2n-1-S S_2n-1-S = , тоесть . Та­ким образом, во всех случаях остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Признак Дирихле-Абеля

Теорема (Признак Дирихле-Абеля): Пусть числовой ряд имеет вид _nb_n. Если {a_n} монотонная и _n=0,а последовательность частич­ных сумм {B_n}, B_n= _n – ограничена, то ряд сходится.

Следствие.

Признак Лейбница следует из признака Дирихле: {a_n} монотонна и _n=0, a| ^k-1|≤1.

Пример. , x≠2 k.

a_n= - монотонно убывающая,

B_n= = ; |B_n|≤ и ряд сходится по признаку Дирихле.

Непрерывность суммы РСФР

Теорема (Непрерывность суммы равномерно сходящихся ФР):Пусть члены ФР непрерывны на [a,b], ряд равномерно сходится к S(x) на [a,b]. Тогда сумма ряда S(x) непрерывна на [a,b].

(Докажем [a,b] S(x₀), т.е.

>0 >0: .

Рассмотрим (*).

Так как:

а) ФР >0 , [a,b] (в том числе для );

в) =u₁(x)+...+u_n(x)- непрерывна на[a,b]

>0 >0: [a,b]: < , то в силу (*) при выполняется . )

Замечание. = =

Замечание. Условия теоремы носят достаточный, но не обходимый харак­тер (т.е. есть ряды составленные из непрерывных функций сходятся нерав­номерно, но имеют непрерывную сумму)

Основные элементарные ФКП

1) линейная w=az+b – непрерывна на z

2) степенная w=zⁿ

3) дробнолинейная 0

4) w=e^z=e^x(cosy+isiny)

5) логорифмическая w=Lnz=ln|z|+iargz+2nki

6) тригонометрические

7) обратные тригонометрические cosiz=chsiniz=ish

+21.Дифференцирование ФКП. Условия Коши-Римана.

Пусть определена и одназн. в .Если ,то ф-я дифф-ма в .

Т.е. . (*).

Если ф-я диф-ма в ,то её приращение представимо в виде (*). Пусть представимо так: (**), не зависит от . Тогда Чтобы была диф-ма в чтобы её приращ. в было в виде (*).

Если -диф-мы в 1)

2) 3) 4) -диф-ма.в Если -диф. в ,то -непре­рывна в .

□по св-ву 1: непрер. ■ Если -диф. в -диф-мы в . Обратное не всегда верно.

+21Теорема Коши-Римана. Пусть -определена и однозн.в .Чтобы была диф-ма в были диф-мы в и выполнялись: в .

□Необ.Пусть .

а) . .

б) . . (***).

Дост. -диф-мы в и выполняется (***). при . Т.е. ■

Теорема Морера.

Пусть -непрерывная в односв.области и от замкнутому контуру, целиком ,равен 0. Тогда -аналитическая в обл-ти .

□При условиях теоремы ,где -произвольные области , а берётся по пути, соединяющему эти в обл-ти ,является аналитической в этой обл-ти ф-ей, причём . Но, как было только что установлено, производная аналитической ф-ии также является анал.ф-ей, т.е. нерерывная производная ф-ии , а именно ф-ия ,что и доказывает теорему.■

Эта теорема в определённом смысле явл. обратной по отношении к т.Коши. Её легко обобщить на многосвязные области.

Принцип максимума модуля.

Пусть -анал-ая в обл. и непрерыв. в замкн. обл. .Тогда или или максимальные знач-я достигаются только на границе области.

□ по условию непрерывная в замкн.области.Она достигает своего макс.значения в какой-то данной обл-ти.Т.е. , (*). Пусть -внутр.точкаобл-ти . Построим в круг радиуса с центром в .Пишем ф-лу среднего для и учитвая (*): (**).

Т.к. непрерывна на контуре интегрирования и из (*) при (***). По (*) не может быть . Если предположим, что в какой-то интегрирования модуль то из непрерыв. и в некой , т.е. можно указать отрезок инт-ия , на котором Тогда ,что противоречит (**).Значит (***) имеет место.■

Теорема Лиувилля.

Пусть на всей компл.пл-ти ф-ия аналитическая, а равномерно ограничен. Тогда тождественно = постоянной. □Пишем в : ,интегрирование будем вести по окружности . Из условия такая ,что независимо от . Поэтому . Т.к. можно выбрать сколь угодно большим, а не зависит от . Т.к. выбираем на всей компл.пл-ти. . ■

Основная теорема алгебры

Полином -ой степени имеет на компл.пл-ти ровно нулей (с учётом их кратности).

□Представим полином в виде , где , . Составим . При заданных значениях всегда найдётся такое знач. , что для всех знач. имеет место: . По теор.Руше , что полное число нулей ф-ии в равно числу нулей в этом круге ф-ии . Но на всей компл.пл-ти имеет ! -кратный нуль - .Отсюда в силу произвольности и следует утверждение теоремы.■

Я теорема Вейерштрасса.

Пусть ф-ии -аналит-ие в обл. ,непрерывные в и ряд

сход.равномерно на границе этой обл-ти.Тогда ряд равном.сход. и в .

□Разность частичных сумм данного ряда, ф-я ,как конечная сумма аналит-их ф-ий, явл.аналитической в и непрер.в .Из равном.сход. ,при для натурального и всех одновременно.

По теор.о максимуме аналит-ой ф-ии при для натурального и для всех . Выполнен кр.Коши, что и доказывает теорему.■

Теорема Абеля.

Если степенной ряд сход. в некот. ,то он абсолютно сходится в ,удовлетворяющую причём в радиуса , ряд сходится равномерно.

□Обозначим . Т.к. должен сходится, то при его члены .

Тогда (*) .

По условию сходится. Из (*) сходимость рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную сход-ть в круге достаточно, по приз. Вайерштр., построить сходящийся числовой ряд, мажорирующий данный ряд в рассматриваемой области. Такой ряд – это , тоже представляюет сумму бескон.геом. прогрессии со знаменателем ■

Теорема Тейлора.

, аналитическая внутри , может быть представлена в этом круге степ.рядом , причём он определён однозначно.

□Выберем , построим окружность с центром в радиуса . Имеем (*). Преобразуем: (**).

. по теор. Коши можно заменить на замкн.контур ,лежащим в .

, аналитическая внутри , разлаг.в нём в сходящийся степ. ряд. Коэф-ты разложения .

Докажем ! разложения. Пусть есть другое: где хотя бы один . Ряд сход-ся в . Из всего . ?!? ! доказана. ■

Теорема Лорана.

(1)

Ряд Лорана сход-ся, если сход-ся правильная и главная части.

Теорема. Если ряд Лорана сх-ся, то он сх-ся в некотором кольце.

f(z)=

Теорема Лорана. Если f(z)-аналит. в r< ,

то f(z)=

,

Неравенство Коши.

f(z) огран. в : M

-неравенство Коши

Теорема Сохоцкого.

Если a -с.о.т., то для любого комплексного числа a, в том числе и для , найдётся

Теорема единственности.

F(z) и g(z) – аналитичны в некоторой области D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек

F(z_n)=g(z_n) z_n Dz_n a D при n f(z) g(z) во всей области D

□ Берем (z)=f(z)-g(z) (z_n)=f(z_n)-g(z_n)=0 z_n – нули функций по условию

z_n a при n и по теореме о нулях функции U(a) такая что (z)=0

для z₁ D z₁)=0 окружности t₁ бесконечно много нулей (z) t₁-предельнаяточка множества U(t₁) такой что (z) 0 и так далее

z₁ U(t_k) z₁)=0 (z) 0 в области D ■

Свойства сходящихся числовых рядов

1°. Пусть ряд сходится и Тогда для любого ( = const) схо­дится ряд и имеет сумму .{Пусть . , }.

2°.Если сходятся ряды и , то сходится ряд и имеет сумму A+B.

{Пусть . => }.

3°.Если , то для любых чисел и .{Следует из 1° и 2°}

4°.Если сходится ряд