Сходимость и сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши
1. Сходимость и сумма числового ряда. Необходимые условия сходимости
Пусть последовательность действительных чисел,
- числовой ряд. (1)
Составим последовательность частичных сумм:
последовательность частичных сумм.
Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу , то ряд называется сходящимся, а число S – его суммой. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Пример. Исследовать сходимость и найти сумму ряда .
Составляем последовательность частичных сумм:
,
.
остаток сходящегося ряда, последовательность остатков.
Первое необходимое условие сходимости. Частичные суммы сходящегося ряда – ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).
Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:
Второе необходимое условие сходимости У сходящегося ряда предел общего члена равен нулю
Доказательство. Доказано.
Рассмотрим пример расходящегося ряда, для которого
неограниченная, наименьшее слагаемое .
Пример. расходится, т.к.
Предположим, что
противоречие.
2. Свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши
1. Критерий сходимости: ряд сходится
Доказательство. Доказано.
2. Сходимость ряда не нарушится, если добавить или отбросить конечное число слагаемых.
3. Множество сходящихся радов образуют линейное пространство:
если
4. Критерий Коши: ряд (1) сходится фундаментальная, т.е.
Пример. гармонический ряд (расходящийся).
т.е. не выполнен критерий Коши, ряд расходится.
-функция Римана.
Задача. Исследовать сходимость ряда сумма бесконечной геометрической прогрессии. Доказать, что при ряд сходится,
Решение.
ЛЕКЦИЯ 14
Сходимость рядов с положительными членами. Критерий сходимости. Признаки сравнения. Признак Даламбера
1. Сходимость рядов с положительными членами. Критерий сходимости
Пусть
положительный ряд (1).
Теорема.Ряд (1) – сходится тогда и только тогда, когда последовательность ограниченная.
Доказательство.Необходимость.
Известно как необходимое условие сходимости.
Достаточность.
ограниченная т.е. сходится (по теореме Коши о пределе монотонной последовательности). Доказано.
Замечание. У положительного ряда достаточно проверять ограниченность только некоторой подпоследовательности частичных сумм.
2. Признаки сравнения
Теорема.Если даны два ряда то:
1) если - сходится, то - сходится;
2) если - расходится, то - расходится.
Доказательство.
1) Пусть подпоследовательность частичных сумм ряда , подпоследовательность частичных сумм ряда ограниченная сверху (по необходимому условию сходимости), ограниченная сверху сходится.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Доказано.
Замечание. В признаке сравнения выполнение неравенства достаточно требовать для
При использовании признака сравнения можно использовать сравнение последовательностей:
1. если и ряд сходится, то ряд (1) сходится;
2. если то сходимости и эквиваленты;
3. то сходимости и эквивалентны.
Пример. Исследовать на сходимость :
расходится, а значит и данный ряд расходится.
Признак сравнения в предельной форме
Если даны то
1) если ряд сходится, то ряд - сходится;
если ряд расходится, то ряд - расходится.
Обобщенный признак сравнения
Теорема. Если даны то
1) если - сходится, то - сходится;
2) если - расходится, то - расходится.
Доказательство.
1) Имеем или или или
Þ - сходится.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Доказано.
Замечание. В обобщённом признаке сравнения выполнение неравенств достаточно требовать для
3. Признак Даламбера
Если для ряда то
Доказательство.Пусть тогда ряд сходится, расходится, но
Пусть тогда и для сходится и по обобщённому признаку сравнения исходный ряд сходится.
Пусть
Значит, ряд расходится.
Доказано.
Признак Даламбера с использованием нижнего и верхнего предела:
1) Если то ряд сходится.
2) Если то ряд расходится и
ЛЕКЦИЯ 15