Свойства сходящихся рядов

Если ряд сходится, то удаление или добавление любого конечного числа членов ряда не влияет на факт его сходимости, а меняет только значение его суммы.

Если ряд свойства сходящихся рядов - student2.ru сходится и его сумма равна свойства сходящихся рядов - student2.ru , то ряд свойства сходящихся рядов - student2.ru тоже сходится и его сумма равна свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Если сумма ряда свойства сходящихся рядов - student2.ru равна свойства сходящихся рядов - student2.ru , а сумма ряда свойства сходящихся рядов - student2.ru равна свойства сходящихся рядов - student2.ru , то ряды свойства сходящихся рядов - student2.ru сходятся и их суммы равны свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Если ряд свойства сходящихся рядов - student2.ru сходится, то его общий член свойства сходящихся рядов - student2.ru стремится к нулю при свойства сходящихся рядов - student2.ru . Отсюда вытекает, что если свойства сходящихся рядов - student2.ru , то ряд расходится. Доказательства указанных свойств можно найти в [1-3].

Пример 1.2

Исследовать сходимость ряда:

свойства сходящихся рядов - student2.ru

Решение. Здесь свойства сходящихся рядов - student2.ru

Ответ: ряд расходится.

В практических задачах довольно часто не удается найти точное значение суммы ряда. В этом случае приближенно считают свойства сходящихся рядов - student2.ru , выбирая n достаточно большим, можно найти значение свойства сходящихся рядов - student2.ru с любой нужной точностью. Важно только знать, что свойства сходящихся рядов - student2.ru существует т.е., что ряд сходится. Это можно проверить с помощью признаков сходимости- расходимости рядов.

Признаки сходимости положительных рядов

Пусть дан ряд свойства сходящихся рядов - student2.ru с положительными членами свойства сходящихся рядов - student2.ru . Предположим, что существует предел свойства сходящихся рядов - student2.ru . Тогда, если свойства сходящихся рядов - student2.ru , то ряд сходится, а если свойства сходящихся рядов - student2.ru , то ряд расходится (радикальный признак Коши).

Замечание: если свойства сходящихся рядов - student2.ru , то признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример 1.3

Исследовать сходимость ряда свойства сходящихся рядов - student2.ru где свойства сходящихся рядов - student2.ru и свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Решение : свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Ответ: При свойства сходящихся рядов - student2.ru ряд сходится; при свойства сходящихся рядов - student2.ru ряд расходится. При свойства сходящихся рядов - student2.ru ряд расходится, так как свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Пусть дан ряд свойства сходящихся рядов - student2.ru с положительными членами свойства сходящихся рядов - student2.ru . Предположим, что существует предел свойства сходящихся рядов - student2.ru . Тогда, если свойства сходящихся рядов - student2.ru , то ряд сходится, а если свойства сходящихся рядов - student2.ru , то ряд расходится (признак Даламбера).

Замечание: если свойства сходящихся рядов - student2.ru , то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример 1.4

Исследовать сходимость ряда свойства сходящихся рядов - student2.ru

Решение : свойства сходящихся рядов - student2.ru

Ответ: ряд сходится.

Пусть дан ряд свойства сходящихся рядов - student2.ru члены которого положительны свойства сходящихся рядов - student2.ru и монотонно убывают свойства сходящихся рядов - student2.ru . Предположим, что существует функция свойства сходящихся рядов - student2.ru ,удовлетворяющая условиям:

А) свойства сходящихся рядов - student2.ru определена и непрерывна при свойства сходящихся рядов - student2.ru ;

Б) свойства сходящихся рядов - student2.ru и монотонно убывает при свойства сходящихся рядов - student2.ru ;

В) свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Тогда несобственный интеграл первого рода, определяемый соотношением свойства сходящихся рядов - student2.ru , и данный ряд сходится или расходится одновременно (интегральный признак Коши).

Пример 1.5

Исследовать сходимость ряда свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Решение : свойства сходящихся рядов - student2.ru

Вычислим несобственный интеграл в зависимости от значения а.

Если свойства сходящихся рядов - student2.ru то свойства сходящихся рядов - student2.ru , т.е. расходится.

Если свойства сходящихся рядов - student2.ru , свойства сходящихся рядов - student2.ru , т.е., сходится.

Если свойства сходящихся рядов - student2.ru , то свойства сходящихся рядов - student2.ru , т.е., расходится.

Ответ: ряд сходится при свойства сходящихся рядов - student2.ru и расходится при свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Пусть даны два ряда с положительными членами свойства сходящихся рядов - student2.ru и свойства сходящихся рядов - student2.ru причем для всех n выполняется неравенство свойства сходящихся рядов - student2.ru . Тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (a); из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b) (теорема сравнения).Если предел отношения общих членов рядов (a) и (b) является конечным, не равным нулю числом, то эти ряды одновременно или оба сходятся, или оба расходятся (признак сравнения в предельной форме). Доказательства перечисленных признаков приведены [1-3].

Пример 1.6

Исследовать сходимость ряда свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Решение: Сравним с расходящимся гармоническим рядом свойства сходящихся рядов - student2.ru , который расходится.

свойства сходящихся рядов - student2.ru .

Ответ: ряд расходится.

Наши рекомендации