Свойства равномерно сходящихся рядов.

18.2.3.1. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.Если члены функционального ряда Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru - непрерывные функции, и этот ряд равномерно сходится на отрезке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , то сумма этого ряда непрерывна на Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

18.2.3.2. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены функционального ряда непрерывны на отрезке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , и ряд равномерно сходится к своей сумме Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru на этом отрезке: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Тогда Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.

18.2.3.3. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены сходящегося ряда Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru - дифференцируемые на отрезке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru функции, и ряд, составленный из производных Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , равномерно сходится на Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Тогда ряд Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru можно почленно дифференцировать, и Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , т.е. производная суммы ряда равна сумме ряда из производных.

Отметим тонкость, заключённую в этой теореме: для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.

Эти свойства равномерно сходящихся рядов по нашей программе принимаются без доказательства; мы будем ими пользоваться при изучении степенных рядов. Однако уже сейчас мы можем сделать из этих теорем тонкие и важные выводы. Ряд Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru - геометрическая прогрессия со знаменателем Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , поэтому его сумма равна Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru : Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Мы доказали, что этот ряд равномерно сходится на любом отрезке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , целиком лежащем в области сходимости (-1,1), поэтому его можно почленно проинтегрировать в пределах от 0 до Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru : Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Вычисляя интегралы, получаем Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Это не только неожиданное и красивое представление числа Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru в виде ряда Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , но и удобный способ его вычисления с любой точностью с простой оценкой остатка по первому отброшенному члену, так как получен ряд Лейбницевского типа (см. раздел 18.1.4.2).

Степенные ряды.

18.2.4.1. Определение.Степенным рядом называется функциональный ряд вида Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ,

где Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru - постоянные (коэффициенты ряда), Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru - фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

18.2.4.2. Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , то

1. он абсолютно сходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru (т.е. находящейся ближе к точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , чем Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru );

2. он сходится равномерно на любом отрезке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , целиком лежащем на интервале Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru (т.е. на интервале с центром в Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru радиуса Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ).

3. Если этот ряд расходится в точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , то он расходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru (т.е. находящейся дальше от точки Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , чем Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ).

Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru Доказательство. 1.Из сходимости ряда Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru в точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru следует, что его общий член Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru стремится к нулю при Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ; любая последовательность, имеющая предел, ограничена, следовательно, существует число С такое, что Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Пусть точка х удовлетворяет неравенству Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , тогда Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Оценим член ряда в точке х:

Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Члены ряда в точке х по абсолютной величине не превосходят членов сходящейся геометрической прогрессии, следовательно, ряд сходится абсолютно в точке х, следовательно, он сходится абсолютно в любой точке интервала Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

2. Пусть отрезок Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , целиком лежит на интервале Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Из точек а, b выберем ту, которая находится дальше от точки Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , примем для определённости, что это - точка а: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Тогда для любого х из этого отрезка Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . В точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ряд Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , по доказанному, сходится абсолютно, но он является на Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru мажорантой для ряда Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , следовательно, степенной ряд сходится равномерно на отрезке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

3. Пусть степенной ряд расходится в точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , и Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . То, что ряд расходится в точке х, докажем от противного. Если предположить, что он сходится в точке х, то, по доказанному, он сходится во всех точках, расположенных ближе к Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , чем х, следовательно, он сходится в точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , что противоречит условию.

Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда.Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru (возможно, Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ) такое, что при Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru степенной ряд сходится, при Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ряд расходится. Действительно, пусть в точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ряд сходится, в точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ряд расходится. Рассмотрим точку Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , расположенную между областями, в которых установлена сходимость и расходимость. В точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru числовой ряд Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru либо сходится, либо расходится. Если он сходится, то мы можем перенести точку Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru в точку Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ; если ряд в точке Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru расходится, мы переносим в Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru точку Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Продолжая этот процесс, мы сблизим точки Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru и Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , эта граница и определит число R.

Определение. Число R Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru такое, что при Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru степенной ряд сходится, при Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ряд расходится, называется радиусом сходимости. Интервал Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru называется интервалом сходимости степенного ряда.

Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно. В зависимости от поведения ряда на концах интервала сходимости область сходимости степенного ряда может быть одной из следующих: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

Итак, для определения области сходимости степенного ряда надо найти его интервал сходимости R, затем исследовать поведения ряда в концевых точках интервала сходимости Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

Примеры.1. Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Для определения радиуса сходимости этого ряда целесообразно применить признак сходимости Дирихле. Однако этот признак, как и многие другие, может применяться только к положительному ряду, поэтому выпишем ряд, состоящий из абсолютных величин членов исследуемого ряда: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Применяем признак Дирихле: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Следовательно, Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Мы нашли радиус сходимости R =3 и интервал сходимости Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Исследуем поведение ряда на концах интервала: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , ряд сходится. Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , ряд сходится абсолютно. Область сходимости - интервал [-7,7].

В следующих примерах решения будут излагаться кратко, без пояснений.

2. Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Ряд из модулей: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , признак Коши Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru - расходится, Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru - расходится, область сходимости - интервал Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

3. Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Ряд из модулей: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , признак Даламбера Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru - сходится условно, Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru - расходится, область сходимости - полуинтервал Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

4. Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Решение такое же, как в предыдущем примере, однако ряд будет знакочередующимся в точке х =5; ответ: область сходимости - полуинтервал Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

В заключение рассмотрим примеры, когда область сходимости вырождается в точку или всю числовую ось:

5. Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Ряд из модулей: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , признак Даламбера Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru область сходимости - единственная точка х=0, Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

6. Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Ряд из модулей: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru , признак Даламбера Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru в любой точке х, область сходимости - вся числовая ось Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

18.2.4.4. Формулы для радиуса сходимости. Получим формулы, выражающие радиус сходимости степенного ряда Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru через его коэффициенты. Ряд из модулей: Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru ; применение к этому ряду признака Коши даёт Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

Применение признака Даламбера даёт Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru . Итак, Свойства равномерно сходящихся рядов. - student2.ru .

Наши рекомендации