Напряжения при поперечном изгибе

В предыдущем параграфе мы видели, что при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения. Соответственно внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении.

При поперечном изгибе в сечении бруса возникает не только изгибающий момент, но и перерезывающая сила. Эта сила является равнодействующей элементарных сил, лежащих в плоскости сечения (рис.5.8).

Рис. 5.8

Таким образом, при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением угловых деформаций . Поэтому нарушается гипотеза плоских сечений. На рис 5.9 показана типичная картина искривления поперечных сечений.

Рис. 5.9

Теоретически и экспериментально доказано, что искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается на величине нормальных напряжений. Таким образом, нормальные напряжения при поперечном изгибе вычисляются по тем же формулам, что и при чистом изгибе

.

Тем самым гипотеза плоских сечений распространяется на поперечный изгиб.

Теперь определим приближенно величину касательных напряжений при поперечном изгибе. Выделим из бруса элемент длиной (рис. 5.10).

При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на величину .

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии от нейтрального слоя (рис. 5.10,б) разделим этот элемент на две части и рассмотрим условие равновесия верхней части. С правой стороны напряжения в каждой точке больше, чем с левой, т.к. изгибающий момент справа больше чем слева (рис.5.10,б).

Рис. 5.10

Равнодействующая нормальных сил в левом сечении в пределах заштрихованной площади равна

или согласно формуле (5.8)

,

где — текущая ордината площадки (рис. 5.10,б),

— статический момент относительно оси части площади, расположенной выше продольного сечения .

Тогда

.

В правом сечении нормальная сила будет другой

.

Разность этих сил в правом и левом сечениях равна

.

Эта разность должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (рис. 5.10,б и в).

В качестве приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения равномерно.

Тогда .

Откуда (5.11)

Эта формула позволяет вычислять напряжения в продольных сечениях бруса. Напряжения в поперечных сечениях равны им по закону парности.

Таким образом, формула позволяет вычислять касательные напряжения в любых точках по высоте поперечного сечения.

Рассмотрим распределение касательных напряжений для некоторых типов поперечных сечений.

Прямоугольное сечение (рис. 5.11).

Возьмем произвольную точку , отстоящую от нейтральной оси на расстоянии . Проведем через эту точку сечение параллельно оси ; ширина этого сечения — .

Статический момент отсеченной (заштрихованной) части равен

; ,

Рис. 5.11

Следовательно,

.

Как известно,

.

Подставляя полученные значения в формулу (5.11), имеем

(5.12)

Формула (5.12) показывает, что касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратной параболы. При получим , а при имеем .

Двутавровое сечение (рис. 5.12). Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины сечения при переходе от стенки двутавра к его полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая величина.

Рассмотрим произвольную точку (рис. 5.12). Проведем через эту точку линию параллельную оси . Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихована на рис. 5.12) может быть найден как сумма статических моментов площадей и :

.

Эта формула справедлива, когда точка находится в пределах вертикальной стенки, т.е. пока величина лежит в пределах . Эпюра касательных напряжений для вертикальной стенки имеет вид, показанный на рис. 5.12.

Рис. 5.12

.

.

Чистый косой изгиб

Изгиб называется косым, если плоскость действующих сил проходит через ось балки, но не совпадает ни с одной из главных осей сечения.

Его удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса в двух главных плоскостях и (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Для этого изгибающий момент раскладывается на составляющие относительно осей и :

, .

Таким образом, косой изгиб сводится к двум плоским изгибам относительно осей, и . Изгибающие моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение в первой четверти.

Нормальные напряжения в точке имеющей координаты и будут равны сумме напряжений от , т.е.

(5.13)

Следовательно, как при простом изгибе нормальные напряжения при косом изгибе образуют плоскость.

Уравнение нейтральной линии получим, положив в (5.13) .

.

После подстановки и получим

, т.к. , то или окончательно уравнение нейтральной линии получим в виде:

. (5.14)

Легко установить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна плоскости изгибающего момента.

Угловой коэффициент следа плоскости момента (рис. 5.13,б) представляет собой тангенс угла ,

.

Угловой коэффициент нейтральной линии равен

.

Т.к. в общем случае , то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку

.

Поэтому нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости момента, а несколько повернута в сторону минимального момента инерции. Брус «предпочитает» изгиб не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где плоскость на изгиб будет меньше.

Т.к. эпюра нормальных напряжений в сечении линейка, то максимальные напряжения возникают в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии. Пусть координаты этой точки будут тогда:

. (5.15)

Условие прочности можно записать в виде:

. (5.16)

Если сечение имеет простую форму, то наиболее удаленные точки находятся сразу, если сложную то, вычертив сечение в масштабе (рис. 5.14), наносится положение нейтральной линии, и графически находится наиболее удаленная точка (рис. 5.14).

Рис. 5.14