Определение перемещений балок при поперечном изгибе

8.9.1. Понятие о перемещениях балки. Дифференциальное уравнение упругой линии балки

Кроме расчетов на прочность для элементов конструкций выполняются расчеты на жесткость. Напомним, что под жесткостью подразумевается такие требования, при которых перемещения (деформации) элементов конструкций не должны превосходить допускаемы величин. Здесь под перемещением подразумевается прогиб балки 𝓌=𝓌(x) в сечении с координатой х и углом поворота сечения Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru (рис.8.33).

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Рисунок 8.33 – Перемещения при изгибе балки

При малых прогибах угол поворота сечения Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru равен углу между касательной к упругой линии в данной точке и осью балки Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru :

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Правило знаков для перемещений: прогиб положителен при перемещении вверх, т.е. в сторону положительной оси у; угол поворота сечения положителен при повороте против часовой стрелки.

Между кривизной упругой линии балки и изгибающим моментом М=М(х) существует зависимость:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

где Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru – кривизна изогнутой оси балки, которая характеризует величину деформации при изгибе ( Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru – радиус кривизны); Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru – жесткость при изгибе балки.

Заметим, что при ρ>0 кривизна Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru и линия функции 𝓌=𝓌(x) обращена выпуклость вниз, т.е. в сторону положительного значения изгибающих моментов Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru . Отсюда знак кривизны линии совпадает со знаком изгибающего момента.

Из математики известна зависимость между кривизной линии Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru и ее функцией 𝓌:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

В пределах упругих деформаций материала балки величина 𝓌ʹ составляет тысячные доли радиана, следовательно, можно пренебречь значением (𝓌ʹ)2 по сравнению с единицей, тогда Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru = 𝓌ʹʹ. Подставляя сюда выражение (8.20), получим:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Зависимость (8.22) называется дифференциальным уравнением упругой линии балки. Оно связывает функцию прогиба 𝓌 с одной стороны с уравнением изгибающих моментов М по длине балки с другой стороны.

Интегрированием уравнения (8.22) можно получить величины перемещений при изгибе балки.

8.9.2. Вычисление перемещений путем интегрирования уравнения упругой линии балки

Пусть при поперечном изгибе балки известно аналитическое выражение (уравнение) для изгибающего момента М=М(х). Тогда двукратным интегрированием дифференциального уравнения упругой линии балки (8.22) можно найти выражения для углов поворота сечений по длине балки Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

где Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru и Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru – постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.

Граничными условиями называются условия опирания балки на крайних опорах. Эти условия представляют собой равенство нулю на опорах прогибов или углов поворота сечений.

Так, для простейших случаев опирания балки на опорах (рис.8.34) граничными условиями будут:

а) при шарнирном опирании балки по концам (рис.8.34, а):

· при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

· при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

б) при жесткой заделке балки по концам (рис.8.34, б):

· при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

· при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Рисунок 8.34 – Простейшие виды опирания балки на опорах

Рассмотрим вычисление элементов изгиба балок для типичных случаев нагрузки, наиболее часто встречающихся на практике.

Случай 1. Балка, защемленная одним концом, изгибается силой Р, приложенной на другом конце (рис.8.35). Определить прогиб балки на конце консоли Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru .

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Рисунок 8.35 – Жестко заделанная балка при изгибе от силы Р

Решение

Уравнение изгибающего момента в сечении х:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Интегрируя дифференциальное уравнение упругой линии балки (8.22), на основании выражений (8.23) и (8.24) находим:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

т.е. соответственно:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Для определения постоянных интегрирования С и D используем граничные условия (8.26), соответствующие рассматриваемому случаю опирания балки (см. рис. 8.35):

- при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru ; из выражения (8.28) находим:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

- при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru ; из выражения (8.29) находим:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Уравнение прогибов балки на основании выражения (8.29) опишется зависимостью:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Тогда формула для прогиба балки на конце консоли в т.В при х=0 будет:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Знак минус в формуле (8.30) соответствует тому, что прогиб т.В направлен в сторону отрицательной оси у, т.е. вниз.

Случай 2. Балка, шарнирно опертая на двух опорах (рис. 9.36), изгибается сплошной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Определить угол поворота сечения на опорах и прогиб посредине балки.

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Рисунок 8.36 – Изгиб шарнирно опертой балки при равномерно распределенной нагрузке

Решение

Реакции опор из условий статики равны:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Уравнение для изгибающего момента в сечении х балки:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

На основании выражений (8.23) и (8.24) с учетом зависимости (8.31) запишем уравнения для углов поворота и прогибов балки по ее длине при заданном виде нагрузки:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

т.е. соответственно:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Для определения постоянных интегрирования С и D воспользуемся граничными условиями (8.25):

- при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru ; из выражения (8.33) находим Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

- при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru на основании уравнения (8.33) имеем:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Подставляем найденные значения С и D в выражения (8.32) и (8.33):

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Из окончательно полученного выражения для углов поворота балки по ее длине (8.34) найдем угол поворота левого сечения А при х=0:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Знак минус в этом выражении показывает, что с учетом принятого правила знаков сечение А балки поворачивается по часовой стрелке.

Из зависимости (8.35) получим выражение для прогиба балки посередине пролета при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

что соответствует прогибу точки балки вниз посредине ее пролета.

Рассмотренный на приведенных примерах метод определения перемещений балки относится к классу аналитических методов, дающих точное решение задач. Однако данный метод не удобен тем, что при нескольких участках нагрузки балки k, а значит разных уравнениях для изгибающих моментов в них, на каждом участке будет по две постоянных интегрирования типа С и D. Тогда общее число постоянных составит ( Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru ) и для их определения необходимо решать систему уравнений с большим числом неизвестных. Задача становится громоздкой и неудобной для практики. Однако существует другой подход к определению перемещений балки при нескольких участках нагружения, когда число постоянных в уравнениях упругой линии не будет зависеть от количества участков нагрузки.

8.9.3. Вычисление перемещений балки на основе метода начальных параметров

Использование нескольких математических приемов (например, интегрирования без раскрытия скобок; введение сомножителей перед нагрузками, учитывающих место их приложения; введение дополнительной распределенной нагрузки) позволило получить обобщенное (для типичных случаев нагрузки), или универсальное уравнение упругой линии балки. Метод расчета перемещений балки на основе универсального уравнения ее упругой линии называется методом начальных параметров.

Рассмотрим практическую сторону использования универсального уравнения упругой линии балки по определению ее перемещений методом начальных параметров.

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Рисунок 8.37 – Общий случай нагрузки балки основными типами внешних сил

На балку длиной l действует несколько i основных типов внешних сил: моментов Мi, сосредоточенных сил Рi, распределенной нагрузки интенсивности qi (рис.8.37). Начало координат т.О принимается на левом конце балки. Координаты приложения внешних сил, отсчитываемые от т.О, обозначены ai, bi, ci, di. Внешние силы имеют направления, приводящие к положительным изгибающим моментам от их действия в сечении х на последнем участке балки. Если распределенная нагрузка не доходит до конца балки, то ее следует продлить до конца, а чтобы не изменять условия работы балки, следует одновременно приложить нагрузку той же интенсивности и равную добавленной, но обратного знака.

Универсальное уравнение для прогиба балки на последнем участке (см. рис.8.37) имеет вид:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Дифференцируя это уравнение, получаем выражение для углов поворота сечений балки:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

В этих выражениях обозначено: Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru соответственно прогиб, угол поворота сечения, изгибающий момент, перерезывающая сила на левом конце балки, определяемые из граничных условий (эти величины называются начальными параметрами, а отсюда и название метода); знак Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru показывает возможность учета нескольких типовых нагрузок; значок Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru и другие показывает, что соответствующее слагаемые следует учитывать только при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru , а при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru оно равно нулю (это значок называется значком Бубнова или прерывателем Герсиванова).

Метод начальных параметров также относится к классу аналитических методов вычисления перемещений балки.

8.9.4. Решение типовых задач по определению перемещений балки методом начальных параметров. Задания для индивидуальной работы

Пример 8.9.1. Балка, лежащая на двух шарнирных опорах, изгибается внешним моментом 𝔐, приложенным посредине пролета (рис.8.38). Определить углы поворота сечений над опорами и максимальный прогиб балки.

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Рисунок 8.38 – К определению перемещений балки от внешнего момента

Решение

Реакции опор балки от заданной нагрузки определяются из условий статики (см.п.8.2, рис.8.8):

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Прогиб балки и углы поворота ее сечений определяются из универсальных уравнений упругой линии балки (8.38) и (8.39). Здесь сразу из вида опор и граничных условий на них находятся начальные параметры: Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru Тогда универсальные уравнения в сечении х для рассматриваемой балки примут вид:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Подчиняя выражение (8.40) граничному условию на первой опоре при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru в т.В Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

откуда

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Из-за симметрии приложения внешнего момента 𝔐 по отношению к опорам балки имеем:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Знак минус в выражении (8.43) свидетельствует о том, что сечение А и В от действия момента Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru поворачивается по часовой стрелке, а по принятому правилу знаков это соответствует отрицательным углам поворота сечений балки.

Все начальные параметры в уравнениях упругой линии балки определены, а отсюда можем вычислить максимальный прогиб балки при заданной нагрузке.

Из условий экстремума функции прогиба Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru находим то значение х, при котором функция Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru на первом участке получает максимальное значение:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

или

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

откуда

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Максимальный прогиб на первом участке найдем, подставив полученное значение х в уравнение прогибов (8.40):

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определим прогиб посредине балки, т.е. при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru Из уравнения (8.40) получим:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

т.е. посредине балки прогиб равен нулю и упругая линия здесь имеет точку перегиба.

На втором участке прогибы будут такие же, как и на первом участке, но противоположные по знаку.

Пример 8.9.2. Определить прогиб балки, изображенной на рис 8.39, в сечениях В и С. Принять значение интенсивности распределенной нагрузки Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru = Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru .

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Рисунок 8.39 – К определению перемещений балки от заданной нагрузки

Решение

Реакции балки в защемлении т.А определяются из условий статики и для заданной нагрузки равны:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

В начале координат начальные параметры равны:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Прогиб балки в сечении т. С, т.е. при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru , из уравнения (8.38) будет:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Распределенная нагрузка распространяется до сечения в т. С, поэтому последнее слагаемое уравнения (8.38) обращается в ноль; перед q взят знак минус, так как распределенная нагрузка приводит к отрицательному изгибающему моменту в сечении х. Подставив значения Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru , получим:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Прогиб в сечении т. В по уравнению (8.38) при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru будет:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Пример 8.9.3. Определить прогиб и угол поворота сечения в т. С посередине пролета балки (рис.8.40).

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Рисунок 8.40 – К определению перемещений балки от заданной нагрузки

Решение

Реакции на шарнирных опорах определяем из условий статики:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Продлеваем распределенную нагрузку q до т.В и прикладываем на этом участке обратно направленную распределенную нагрузку (см. рис. 8.30). Универсальные уравнения упругой линии балки (8.38) и (8.39) при заданной нагрузке примут вид:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

В начале координат т.О при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru нет сил и моментов, поэтому начальные параметры Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru Другие параметры Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru находим из граничных условий:

- при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru тогда из уравнения (8.49) имеем:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

- при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru :

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

или

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Решая систему уравнений (8.51) и (8.52), находим:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Подставляя полученные значения начальных параметров (8.53) в универсальные уравнения (8.49) и (8.50), посредине пролета балки в т.С при Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru получаем:

Определение перемещений балок при поперечном изгибе - student2.ru

Из данных выражений следует, что т.С посередине пролета балки перемещается вверх, а поперечное сечение в т.С поворачивается по часовой стрелке.

Наши рекомендации