Необходимое условие точки перегиба

Будем считать, что у существует и непрерывна вторая производная .

Пусть - точка перегиба. Предположим, для определенности, что левее выпукла, а правее вогнута. Тогда левее . Делая предельный переход при , получим

.

Правее функция вогнута, так что . Делая предельный переход при , получим

.

Совместить оба этих неравенства можно только в том случае, если . Это условие и является необходимым условием точки перегиба.

Достаточное условие точки перегиба

Пусть в некоторой точке выполнено условие . Это, конечно, не означает, что есть точка перегиба; это дает лишь точку «подозрительную» на перегиб.

Рассмотрим сразу общую ситуацию. Пусть в точке имеет место условие

.

Возможны два случая

А. , то есть первая по старшинству (порядка выше второго) производная, отличная от нуля, имеет нечетный порядок.

Тогда разложение функции ряд Тейлора имеет вид

а разложение в ряд Тейлора производной имеет вид

.

Посмотрим, как выглядит график (обратите внимание: строится график производной , а не самой функции). Так как у четная степень то этот график имеет такой вид:

Пусть . Тогда левее монотонно убывает, а правее монотонно возрастает. Следовательно, левее вогнута, а правее - выпукла и есть точка перегиба функции .

Если же , то левее монотонно возрастает, и там выпукла, а правее монотонно убывает и там вогнута. Следовательно, есть точка перегиба функции .

Б. , то есть первая по старшинству (порядка выше второго) производная, отличная от нуля, имеет четный порядок.

Тогда разложение в ряд Тейлора имеет вид

а разложение в ряд Тейлора производной имеет вид

Снова представим себе, как выглядит график производной (именно производной а не функции!). Так как у нечетная степень, то этот график имеет такой вид:

Пусть . Тогда и левее и правее монотонно возрастает и, следовательно, и левее и правее выпукла.

Если же то и левее и правее монотонно убывает и, следовательно, и левее и правее вогнута. Поэтому в точке перегиба нет.

Таким образом, есть в перегиб или нет, определяется порядком первой по старшинству (порядка выше второго) производной, отличной от нуля. Если это производная нечетного порядка, то есть точка перегиба , если четного порядка - то в перегиба нет.

Схема исследования функции на выпуклость - вогнутость

1. Найти те точки , в которых . Это будут точки «подозрительные» на перегиб.

2. В этих точках найти первую по порядку старшинства (порядка выше второго) производную, отличную от нуля. Если это будет производная нечетного порядка, то является точкой перегиба, если четного - то в перегиба нет.

3. Вычислить значения в точках правее и левее точек перегиба и установить, где функция выпукла, а где вогнута (там, где функция выпукла, а где - вогнута).

Асимптоты

Пусть функция определена на полу бесконечном (типа или ) или бесконечном интервале.

Горизонтальная асимптота.

Пусть . Тогда говорят, что у функции имеется горизонтальная асимптота . График функции чаще всего имеет такой вид (при )

хотя, в принципе, может иметь и такой вид:

На рисунке приведен график функции , имеющей асимптоту .

Вертикальная асимптота.

Пусть при . Тогда говорят, что прямая является вертикальной асимптотой . График функции при приближении х к а ведет себя примерно так, как изображено на рисунках, хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит - в +¥ или в -¥

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения .

Наклонные асимптоты.

Характерной чертой и горизонтальной и вертикальной асимптот было то, что это прямые линии, к которым «приближается» график . В общем случае асимптота - это некоторая прямая, к которой неограниченно приближается функция при или .

Пусть уравнение асимптот есть . Значение функции при аргументе х есть . Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина стремится к 0 при : . (*) Если эта величина стремиться к нулю, то тем более стремиться к нулю величина: . Но тогда мы имеем

,

и так как последний предел равен нулю, то

.

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения (*):

.

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример. Пусть, например, .

Тогда

, ,

то есть асимптота при имеет уравнение .

Аналогично можно показать, что при асимптота имеет вид .

Сам график функции выглядит так: