Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений.

Определение 5.1. Точка М₀ (х₀ , у₀ ) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если f (x_o , y_o) > f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М₀.

Определение 5.2. Точка М₀ (х₀ , у₀ ) называется точкой минимума функции z = f (x, y), если f (x_o , y_o) < f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М₀.

Замечание 1. Точки максимума и минимума называются точками экстремумафункции нескольких переменных.

Замечание 2. Аналогичным образом определяется точка экстремума для функции от любого количества переменных.

Теорема 5.1 (необходимые условия экстремума). Если М₀ (х₀ , у₀ ) – точка экстремума функции z = f (x, y), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют.

Доказательство.

Зафиксируем значение переменной у, считая у = у₀. Тогда функция f (x, y₀) будет функцией одной переменной х, для которой х = х₀ является точкой экстремума. Следовательно, по теореме Ферма или не существует. Аналогично доказывается такое же утверждение для .

Определение 5.3. Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции.

Замечание. Таким образом, экстремум может достигаться только в стационарных точках, но не обязательно он наблюдается в каждой из них.

Примеры.

1. Найдем стационарную точку функции z = x² + y². Для этого решим систему уравнений откуда х₀ = у₀ = 0. Очевидно, что в этой точке функция имеет минимум, так как при х = у = 0 z = 0, а при остальных значениях аргументов z > 0.
2. Для функции z = xy стационарной точкой тоже является (0, 0), но экстремум в этой точке не достигается ( z (0, 0) = 0, а в окрестности стационарной точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения).

Теорема 5.2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М₀ (х₀ , у₀ ) , являющейся стационарной точкой функции z = f (x, y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим Тогда:

1) f (x, y) имеет в точке М₀ максимум, если AC – B² > 0, A < 0;

2) f (x, y) имеет в точке М₀ минимум, если AC – B² > 0, A > 0;

3) экстремум в критической точке отсутствует, если AC – B² < 0;

4) если AC – B² = 0, необходимо дополнительное исследование.

Доказательство.

Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции f (x, y), помня о том, что в стационарной точке частные производные первого порядка равны нулю:

где Если угол между отрезком М₀М , где М (х₀+Δх, у₀+Δу), и осью Ох обозначить φ, то Δх = Δρ cosφ, Δy = Δρsinφ. При этом формула Тейлора примет вид: . Пусть Тогда можно разделить и умножить выражение в скобках на А. Получим:

. (5.1)

Рассмотрим теперь четыре возможных случая:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и при достаточно малых Δρ. Следовательно, в некоторой окрестности М₀ f (x₀ + Δx, y₀ + Δy) < f (x₀ , y₀), то есть М₀ – точка максимума.

2) Пусть AC – B² > 0, A > 0. Тогда , и М₀ – точка минимума.

3) Пусть AC-B² < 0, A > 0. Рассмотрим приращение аргументов вдоль луча φ = 0. Тогда из (5.1) следует, что , то есть при движении вдоль этого луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча такого, что tg φ₀ = -A/B, то , следовательно, при движении вдоль этого луча функция убывает. Значит, точка М₀ не является точкой экстремума.

3`) При AC – B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

аналогично предыдущему.

3``) Если AC – B² < 0, A = 0, то . При этом . Тогда при достаточно малых φ выражение 2B cosφ + C sinφ близко к 2В, то есть сохраняет постоянный знак, а sinφ меняет знак в окрестности точки М₀ . Значит, приращение функции меняет знак в окрестности стационарной точки, которая поэтому не является точкой экстремума.

4) Если AC – B² = 0, а , , то есть знак приращения определяется знаком 2α₀. При этом для выяснения вопроса о существовании экстремума необходимо дальнейшее исследование.

Пример. Найдем точки экстремума функции z = x² - 2xy + 2y² + 2x. Для поиска стационарных точек решим систему . Итак, стационарная точка (-2,-1). При этом А = 2, В = -2, С = 4. Тогда AC – B² = 4 > 0, следовательно, в стационарной точке достигается экстремум, а именно минимум (так как A > 0).

Условный экстремум.

Определение 5.4. Если аргументы функции f (x₁ , x₂ ,…, x_n) связаны дополнительными условиями в виде m уравнений (m < n):

φ₁ (х₁, х₂ ,…, х_n) = 0, φ₂ (х₁, х₂ ,…, х_n) = 0, …, φ_m (х₁, х₂ ,…, х_n) = 0, (5.2)

где функции φ_i имеют непрерывные частные производные, то уравнения (5.2) называются уравнениями связи.

Определение 5.5. Экстремум функции f (x₁ , x₂ ,…, x_n) при выполнении условий (5.2) называется условным экстремумом.

Замечание. Можно предложить следующее геометрическое истолкование условного экстремума функции двух переменных: пусть аргументы функции f(x,y) связаны уравнением φ(х,у) = 0, задающим некоторую кривую в плоскости Оху. Восставив из каждой точки этой кривой перпендикуляры к плоскости Оху до пересечения с поверхностью z = f (x,y), получим пространственную кривую, лежащую на поверхности над кривой φ(х,у) = 0. Задача состоит в поиске точек экстремума полученной кривой, которые, разумеется, в общем случае не совпадают с точками безусловного экстремума функции f(x,y).

Определим необходимые условия условного экстремума для функции двух переменных, введя предварительно следующее определение:

Определение 5.6. Функция L (x₁ , x₂ ,…, x_n) = f (x₁ , x₂ ,…, x_n) + λ₁φ₁ (x₁ , x₂ ,…, x_n) +

+ λ₂φ₂ (x₁ , x₂ ,…, x_n) +…+λ_mφ_m (x₁ , x₂ ,…, x_n), (5.3)

где λ_i – некоторые постоянные, называется функцией Лагранжа, а числа λ_i – неопределенными множителями Лагранжа.

Теорема 5.3 (необходимые условия условного экстремума). Условный экстремум функции z = f (x, y) при наличии уравнения связи φ (х, у) = 0 может достигаться только в стационарных точках функции Лагранжа L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Доказательство. Уравнение связи задает неявную зависимость у от х, поэтому будем считать, что у есть функция от х: у = у(х). Тогда z есть сложная функция от х, и ее критические точки определяются условием: . (5.4) Из уравнения связи следует, что . (5.5)

Умножим равенство (5.5) на некоторое число λ и сложим с (5.4). Получим:

, или .

Последнее равенство должно выполняться в стационарных точках, откуда следует:

(5.6)

Получена система трех уравнений относительно трех неизвестных: х, у и λ, причем первые два уравнения являются условиями стационарной точки функции Лагранжа. Исключая из системы (5.6) вспомогательное неизвестное λ, находим координаты точек, в которых исходная функция может иметь условный экстремум.

Замечание 1. Проверку наличия условного экстремума в найденной точке можно провести с помощью исследования частных производных второго порядка функции Лагранжа по аналогии с теоремой 5.2.

Замечание 2. Точки, в которых может достигаться условный экстремум функции f (x₁ , x₂ ,…, x_n) при выполнении условий (5.2), можно определить как решения системы (5.7)

Пример. Найдем условный экстремум функции z = xy при условии х + у = 1. Составим функцию Лагранжа L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Система (5.6) при этом выглядит так:

, откуда -2λ=1, λ=-0,5, х = у = -λ = 0,5. При этом L (x, y) можно представить в виде L (x, y) = -0,5 (x – y)² + 0,5 ≤ 0,5, поэтому в найденной стационарной точке L (x, y) имеет максимум, а z = xy – условный максимум.