Необходимое условие существования точки перегиба

Если x0 − точка перегиба функции f(x) и данная функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0, причем в точке x0 она непрерывна, тоf′′(x0)=0.

Доказательство.
Предположим, что в точке перегиба x0 вторая производная не равна нулю: f′′(x0)≠0. Поскольку она непрерывна при x0, то

существует δ-окрестность точки x0, в которой вторая производная сохраняет свой знак, т.е.f′′(x0)<0илиf′′(x0)<0∀x∈(x0−δ,x0+δ).

В таком случае функция будет либо строго выпукла вверх (при f′′(x)<0), либо строго выпукла вниз (при f′′(x)>0). Но тогда точка x0 не является

точкой перегиба. Следовательно, предположение неверно и вторая производная в точке перегиба должна быть равна нулю.

Первое достаточное условие существования точки перегиба

Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x0, имеет вторую производную f′′(x0) в некоторой проколотой

δ-окрестности точки x0 и если вторая производная меняет знак при переходе через точку x0, то x0 является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.
Пусть, например, вторая производная f′′(x) при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус.

Следовательно , в левой δ-окрестности (x0−δ,x0) выполняется

неравенство f′′(x)>0, а в правой δ-окрестности (x0,x0+δ) справедливо неравенство f′′(x)<0

. В таком случае, согласно достаточным условиям выпуклости, функция f(x) выпукла вниз в левой δ-окрестности точки x0 и

выпукла вверх в правой δ-окрестности.
Следовательно, в точке x0 функция меняет направление выпуклости, т.е. c является, по определению,

точкой перегиба.

Второе достаточное условие существования

Точки перегиба

Пусть f′′(x0)=0, f′′′(x0)≠0. Тогда точка x0 является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.
Поскольку f′′′(x0)≠0, то вторая производная

в точке x0 либо строго возрастает (если f′′′(x0)>0), либо строго убывает (если f′′′(x0)<0).

Так как f′′(x0)=0, то вторая производная при некотором δ>0 имеет разные знаки в левой

и правой δ-окрестности точки x0. Отсюда, на основании предыдущей теоремы, следует что x0 − точка перегиба функции f(x).

 

20. Вопрос. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Основные свойства неопределённого интеграла. Примеры.

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной

Первообразная, основные понятия и определения

Определение

Функция Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru называется первообразной для функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru на промежутке Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru , конечном или бесконечном, если функция Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru

Последнее равенство можно записать через дифференциалы:

Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru или Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru

Функция Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru является первообразной для функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru , так как

Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru

Первообразная Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru имеет конечную производную, а, следовательно, является непрерывной функцией.

Теорема

(О бесконечном множестве первообразных для функции)

Если функция Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru является первообразной для функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru на некотором промежутке, то и функция Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru , где Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru на рассматриваемом промежутке.

для функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru первообразной является функция Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru , а, следовательно, и все функции вида Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru также будут первообразными, так как выполняется равенство Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru :

Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru

Таким образом, если функция Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru и Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru - две любые первообразные функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru , то их разность равна некоторой постоянной, то есть

Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru

Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru , может быть представлена в виде Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru .

Неопределенный интеграл

Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru

Знак Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru называется интегралом, Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru - подынтегральным выражением, Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru - подынтегральной функцией, а Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru называется интегрированием функции Необходимое условие существования точки перегиба - student2.ru . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Наши рекомендации