Условие существования перегиба

Точка перегиба функции это точка ,в которой существует касательная к графику и существует такая окрестность точки , в которой график имеет разные направления выпуклости.

Необходимые условия наличия перегиба

либо не существует.

Достаточные условия наличия перегиба

1. Если меняет знак при переходе через точку x₀, то x₀ - точка перегиба.

2. Если то при n четном x₀ - точка перегиба, при n нечетном x₀ не является точкой перегиба.

22. Понятие о многочлене Тейлора. Формула Тейлора для функции одной переменной (без доказательства). Формула Маклорена для функций , , .

Рассмотрим многочлен -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его раз по переменной , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке :

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени .

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен по степеням разности , где - любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .

Разложение функции e^x

Так как (e^x)' = e^x, то производная любого порядка функции e^x равна e^x. При x = 0 функцияe^x и ее производные любого порядка равны одному. Таким образом, формула Маклорена для функции e^x имеет вид

Отметим, что для любого вещественного числа x остаточный член

В самом деле, если x – фиксированное число, то, начиная с некоторого положительного целого числа N, для любого n > N имеем

Следовательно

так как q < 1, а величина является постоянной при любом n. Таким образом, значения функции e^x могут быть найдены приближенно по формуле: